Предисловие

• МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)

I Дифференциальные уравнения первого порядка

• 1 Уравнения первого порядка (152мин.)
• • 1.1 Введение (76мин.)
  • 1.2 Основные понятия и определения (30мин.)
  • 1.3 Метод изоклин (46мин.)
  • Уравнения первого порядка (14мин.)
• 2 Простейшие уравнения первого порядка (167мин.)
• • 2.1 Уравнения с разделяющимися переменными (61мин.)
  • 2.2 Общее решение (30мин.)
  • 2.3 Линейные уравнения первого порядка (76мин.)
  • Простейшие уравнения первого порядка (12мин.)
• 3 Замены переменных (197мин.)
• • 3.1 Что такое замена переменных? (15мин.)
  • 3.2 Уравнения с разделяющимися переменными (15мин.)
  • 3.3 Однородные уравнения (46мин.)
  • 3.4 Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными (30мин.)
  • 3.5 Линейные уравнения и метод вариации (15мин.)
  • 3.6 Уравнения, приводящиеся к линейным (91мин.)
  • Замены переменных (16мин.)
• 4 Уравнения в полных дифференциалах (121мин.)
• • 4.1 Понятие полного дифференциалах (30мин.)
  • 4.2 Уравнения в полных дифференциалах (61мин.)
  • 4.3 Интегрирующий множитель (30мин.)
  • Уравнения в полных дифференциалах (14мин.)
• 5 Теорема существования и единственности (182мин.)
• • 5.1 Постановка вопроса (61мин.)
  • 5.2 Формализация проблемы (121мин.)
  • Теорема существования и единственности (10мин.)
• 6 Доказательство теоремы 5.2 (182мин.)
• • 6.1 Этап 1. Переход к интегральному уравнению (30мин.)
  • 6.2 Этап 2. Метод последовательных приближений Пикара: построение последовательных приближений (46мин.)
  • 6.3 Этап 3. Доказательство сходимости метода последова-тельных приближений (46мин.)
  • 6.4 Этап 4. Предел последовательных приближений - дей-ствительно решение (15мин.)
  • 6.5 Этап 5. Доказательство единственности решения (46мин.)
  • Доказательство теоремы 5.2 (12мин.)
• 7 Дифференциальные и интегральные неравенства (167мин.)
• • 7.1 Линейные дифференциальные неравенства (30мин.)
  • 7.2 Линейные интегральные неравенства (15мин.)
  • 7.3 Непрерывная зависимость решений от параметра (46мин.)
  • 7.4 Теоремы Чаплыгина и Рейда (76мин.)
  • Дифференциальные и интегральные неравенства (12мин.)
• 8 Зависимость решений от параметров и начальных дан-ных (319мин.)
• • 8.1 Зависимость решений от начальных данных (152мин.)
  • 8.2 Зависимость решения от начального момента (61мин.)
  • 8.3 Зависимость решений от параметров в уравнении (106мин.)
  • Зависимость решений от параметров и начальных данных (12мин.)
• 9 Уравнения, не разрешенные относительно производ-ной. Особые решения. Уравнения более высокого по-рядка (167мин.)
• • 9.1 Уравнения, не разрешенные относительно производной (46мин.)
  • 9.2 Особые решения (30мин.)
  • 9.3 Решение уравнений, не разрешенных относительно произ-водной (15мин.)
  • 9.4 Уравнения более высокого порядка. Понижение порядка (76мин.)
  • Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения. Уравнения более высокого порядка (14мин.)

II Линейные дифференциальные уравнения n-го по-рядка

• 10 Общая теория (213мин.)
• • 10.1 Основные понятия (30мин.)
  • 10.2 Линейные неоднородные уравнения (30мин.)
  • 10.3 Линейные однородные уравнения (152мин.)
• 11 Определитель Вронского как инструмент решения раз-личных задач (243мин.)
• • 11.1 Формула Лиувилля - Остроградского (61мин.)
  • 11.2 Восстановление уравнения по фундаментальной системе решений (46мин.)
  • 11.3 Метод вариации произвольных постоянных (46мин.)
  • 11.4 Функция Коши (91мин.)
  • Определитель Вронского как инструмент решения различных задач (14мин.)
• 12 Линейные однородные уравнения с постоянными коэф-фициентами (167мин.)
• • 12.1 Характеристическое уравнение (30мин.)
  • 12.2 Случай простых вещественных корней (15мин.)
  • 12.3 Случай комплексных корней. Комплексификация (121мин.)
  • Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (12мин.)
• 13 Линейные однородные уравнения с постоянными коэф-фициентами (продолжение) (137мин.)
• • 13.1 Случай кратных корней. Новый тип решения (15мин.)
  • 13.2 Дифференциальный оператор (30мин.)
  • 13.3 Формула сдвига (30мин.)
  • 13.4 Теоремы о фундаментальной системе решений (61мин.)
  • Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (продолжение) (10мин.)
• 14 Метод неопределенных коэффициентов (121мин.)
• • 14.1 Основные идеи и формулировка теоремы (30мин.)
  • 14.2 Доказательство (91мин.)
• 15 Краевые задачи (152мин.)
• • 15.1 Понятие краевой задачи (46мин.)
  • 15.2 Некоторые примеры (15мин.)
  • 15.3 Разрешимость краевой задачи (61мин.)
  • 15.4 Теорема о представлении решения краевой задачи (30мин.)
  • Краевые задачи (10мин.)
• 16 Функция Грина (137мин.)
• • 16.1 Представление решения краевой задачи через функцию Грина (46мин.)
  • 16.2 Свойства функции Грина (30мин.)
  • 16.3 Единственность функции Грина (61мин.)

III Системы дифференциальных уравнений

• 17 Общая теория (121мин.)
• • 17.1 Основные понятия, определения (46мин.)
  • 17.2 Векторная терминология и обозначения (15мин.)
  • 17.3 Теорема существования и единственности для систем (61мин.)
  • Общая теория систем дифференциальных уравнений (12мин.)
• 18 Линейные системы (152мин.)
• • 18.1 Как понимать линейность системы (30мин.)
  • 18.2 Неоднородные системы (15мин.)
  • 18.3 Однородные системы (121мин.)
  • Линейные системы (16мин.)
• 19 Формула Якоби. Матричное дифференциальное урав-нение (152мин.)
• • 19.1 Формула Якоби (46мин.)
  • 19.2 Матричное дифференциальное уравнение (46мин.)
  • 19.3 Метод вариации произвольных постоянных и матричная функция Коши (61мин.)
  • Формула Якоби. Матричное дифференциальное урав-нение (12мин.)
• 20 Первые интегралы и сопряженные системы. Квартет матричных дифференциальных уравнений (152мин.)
• • 20.1 Первые интегралы (61мин.)
  • 20.2 Квартет матричных дифференциальных уравнений (91мин.)
  • Первые интегралы и сопряженные системы. Квартет матричных дифференциальных уравнений (10мин.)
• 21 Однородные системы с постоянными коэффициентами (197мин.)
• • 21.1 Модификация метода Эйлера для систем (46мин.)
  • 21.2 Случай простых корней (30мин.)
  • 21.3 Случай кратных корней (121мин.)
  • Однородные системы с постоянными коэффициентами (10мин.)
• 22 Метод неопределенных коэффициентов. Матричная экспонента (243мин.)
• • 22.1 Метод неопределенных коэффициентов (137мин.)
  • 22.2 Матричная экспонента (106мин.)
  • Метод неопределенных коэффициентов. Матричная экспонента (12мин.)
• 23 Автономные системы (197мин.)
• • 23.1 Понятие автономности (30мин.)
  • 23.2 Фазовая плоскость и фазовое пространство (30мин.)
  • 23.3 Фазовый портрет для математического маятника (76мин.)
  • 23.4 Три типа фазовых траекторий (61мин.)
  • Автономные системы (14мин.)
• 24 Классификация особых точек (289мин.)
• • 24.1 Особые точки линейной системы (15мин.)
  • 24.2 Случай вещественных собственных значений (121мин.)
  • 24.3 Случай комплексных собственных значений (46мин.)
  • 24.4 Вырожденные случаи (30мин.)
  • 24.5 Особые точки нелинейных систем (61мин.)
  • Классификация особых точек (14мин.)
• 25 Первые интегралы (213мин.)
• • 25.1 Интегральная поверхность. Первые интегралы (30мин.)
  • 25.2 Уравнение в частных производных (46мин.)
  • 25.3 Функциональная зависимость и независимость интегралов (121мин.)
  • Первые интегралы (16мин.)

IV Устойчивость решений дифференциальных уравнений

• 26 Понятие устойчивости в дифференциальных уравнени-ях (167мин.)
• • 26.1 Обыденное и математическое представление об устойчи-вости (15мин.)
  • 26.2 Формализация (30мин.)
  • 26.3 Доводка до блеска (30мин.)
  • 26.4 Точные определения (30мин.)
  • 26.5 Устойчивость для систем уравнений (15мин.)
  • 26.6 Устойчивость как научная проблема (46мин.)
  • Понятие устойчивости в дифференциальных уравнениях (12мин.)
• 27 Устойчивость линейных систем. Спектральный признак устойчивости. Критерий Рауса - Гурвица (152мин.)
• • 27.1 Линейные неоднородные системы (15мин.)
  • 27.2 Линейные однородные системы (46мин.)
  • 27.3 Спектральный критерий устойчивости для систем (46мин.)
  • 27.4 Критерий Рауса - Гурвица (46мин.)
  • Устойчивость линейных систем. Спектральный признак устойчивости. Критерий Рауса - Гурвица (14мин.)
• 28 Периодические системы (197мин.)
• • 28.1 Скалярное периодическое уравнение (30мин.)
  • 28.2 Критерий устойчивости периодической системы (46мин.)
  • 28.3 Связь критериев устойчивости для систем с постоянны-ми и периодическими коэффициентами (61мин.)
  • 28.4 Теорема Флоке (61мин.)
  • Периодические системы (10мин.)
• 29 Функция Ляпунова (182мин.)
• • 29.1 Понятие и определение (76мин.)
  • 29.2 Теорема о функции Ляпунова (30мин.)
  • 29.3 Модификации и обобщения (76мин.)
  • Функция Ляпунова (10мин.)
• 30 Функция Ляпунова для систем с постоянными коэффициентами. Матричное уравнение Ляпунова (152мин.)
• • 30.1 Квадратичные формы и их свойства (46мин.)
  • 30.2 Матричное уравнение Ляпунова (91мин.)
  • Функция Ляпунова для систем с постоянными коэффициентами. Матричное уравнение Ляпунова (10мин.)
• 31 Теорема об устойчивости по первому приближению. Функция Четаева (228мин.)
• • 31.1 Теорема Ляпунова об устойчивости по первому прибли-жению (61мин.)
  • 31.2 Обобщения и варианты (46мин.)
  • 31.3 Дифференциальное уравнение Ляпунова (121мин.)
  • Теорема об устойчивости по первому приближению. Функция Четаева (10мин.)

Приложения

• I Греческий алфавит (15мин.)
• II Задачи, приводящие к дифференциальным уравнени-ям (349мин.)
• • II.1 К вопросу о бактериях (76мин.)
  • II.2 Электрические цепи (15мин.)
  • II.3 Распространение тепла (76мин.)
  • II.4 Построение ортогонального семейства кривых (30мин.)
  • II.5 Уравнения химической кинетики (15мин.)
  • II.6 Реактивное движение (30мин.)
  • II.7 Из пушки на Луну (15мин.)
  • II.8 Форма равновесия жидкости во вращающемся сосуде (30мин.)
  • II.9 Фокусирующее зеркало (30мин.)
  • II.10 Висящая цепь (30мин.)
  • II.11 Уравнение струны (30мин.)
• III Теорема об общем решении уравнения с разделяющи-мися переменными (76мин.)
• IV Теорема о продолжении решения (106мин.)
• V Уравнения с разрывной правой частью (91мин.)
• VI Теоремы Пеано и Арцела - Асколи (121мин.)
• • VI.1 Теорема Пеано (61мин.)
  • VI.2 Теорема Арцела - Асколи (46мин.)
• VII Теоремы Штурма и смежные вопросы (243мин.)
• • VII.1 Простейшая ситуация (30мин.)
  • VII.2 Похожи ли функции? (30мин.)
  • VII.3 Нули и экстремумы (30мин.)
  • VII.4 Теоремы Штурма (46мин.)
  • VII.5 Синусы и косинусы (30мин.)
  • VII.6 Геометрическая интерпретация (30мин.)
  • VII.7 Неосцилляция дифференциального уравнения (46мин.)
• VIII Правило дифференцирования определителя (61мин.)
• IX Определитель Вандермонда (91мин.)
• • IX.1 Формула для классического определителя Вандермонда (30мин.)
  • IX.2 Формула для обобщенного определителя Вандермонда (61мин.)
• X Обоснования формулы Эйлера (76мин.)
• • X.1 Разложение в ряд (15мин.)
  • Х.2 Второй замечательный предел (15мин.)
  • X.3 Мультипликативное свойство (15мин.)
  • Х.4 Дифференцирование (15мин.)
  • X.5 Заключительные замечания (30мин.)
• XI Уравнение стержня (334мин.)
• • XI.1 Уравнение Эйлера - Бернулли для изгибающего момента (152мин.)
  • XI.2 Кривизна кривой (137мин.)
  • XI.3 Уравнение равновесия и колебаний (46мин.)
• XII Спектральные задачи (76мин.)
• XIII Задачи, приводящие к системам дифференциальных уравнений (273мин.)
• • XIII.1 Задачи механики (106мин.)
  • XIII.2 Задачи популяционной динамики (46мин.)
  • XIII.3 Задачи химической кинетики (30мин.)
  • XIII.4 Система Лоренца (15мин.)
  • XIII.5 Группы преобразований (91мин.)
• XIV Разрешимость вырожденных систем линейных алгеб-раических уравнений (61мин.)
• XV Критерий Рауса - Гурвица (91мин.)
• • XV.1 Случай n = 2 (15мин.)
  • XV.2 Случай n = 3 (30мин.)
  • XV.3 Некоторые формулировки с нестрогим неравенством (46мин.)
• XVI Уравнения в частных производных первого порядка (531мин.)
• • XVI.1 Понятия и определения (76мин.)
  • XVI.2 Линейные уравнения первого порядка (15мин.)
  • XVI.3 Двумерные уравнvения (137мин.)
  • XVI.4 Трехмерные и многомерные уравнения (106мин.)
  • XVI.5 Квазилинейные уравнения (197мин.)

Литература

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (60мин.)