Предисловие

Введение

• МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)

Тема 1. Разностные отображения в нелинейной динамике

• 1.1. Разностные отображения (36мин.)
• 1.2. Свойства логистического отображения (180мин.)
• 1.3. Теорема Шарковского (36мин.)
• 1.4. Шумящие циклы (18мин.)
• 1.5. Итерационные методы нахождения неподвижной точки отображения (54мин.)
• Тест:  Разностные отображения в нелинейной динамике (24мин.)

Тема 2. Модели клеточных автоматов

• 2.1. Понятие о клеточных автоматах (72мин.)
• 2.2. Игровые модели как клеточные автоматы (54мин.)
• 2.3. Игра Дж. Конвея "Жизнь" и двумерный клеточный автомат Кохомото - Ооно (144мин.)
• 2.4. Клеточные автоматы и разностные схемы, аппроксимирующие простейшее уравнение параболического типа (54мин.)
• Тест:  Модели клеточных автоматов (24мин.)

Тема 3. Элементы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений

• 3.1. Уравнения Мальтуса, Ферхюльста (36мин.)
• 3.2. Модели Лотки - Вольтерры (54мин.)
• 3.3. Простые состояния равновесия при n = 2 (36мин.)
• 3.4. Обзор простых состояний равновесия для n = 3 (18мин.)
• 3.5. Понятие грубости системы (90мин.)
• 3.6. Изучение окрестности предельного цикла (36мин.)
• 3.7. Система первой степени негрубости (72мин.)
• 3.8. Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов. Индексы особых точек (36мин.)
• 3.9. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек (18мин.)
• 3.10. Аттракторы динамических систем (54мин.)
• Тест:  Элементы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (30мин.)

Тема 4. Асимптотические методы решения нелинейных динамических задач. Методы осреднения

• 4.1. Асимптотические методы. Введение в теорию малых возмущений (108мин.)
• 4.2. Сингулярно возмущенные задачи. Теорема А. Н. Тихонова (72мин.)
• 4.3. Метод осреднения Ван-дер-Поля (72мин.)
• 4.4. Метод осреднения Крылова - Боголюбова (54мин.)
• 4.5. Стробоскопический метод осреднения быстрых вращений (72мин.)
• Тест:  Асимптотические методы решения нелинейных динамических задач. Методы осреднения (16мин.)

Тема 5. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

• 5.1. Базовые понятия (72мин.)
• 5.2. Методы Рунге - Кутты (198мин.)
• 5.3. Методы Адамса (36мин.)
• 5.4. Оценка погрешности по правилу Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования (54мин.)
• 5.5. Устойчивость методов Рунге - Кутты (90мин.)
• Тест:  Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (20мин.)

Тема 6. Методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

• 6.1. Явление жесткости. Предварительные сведения (108мин.)
• 6.2. Сингулярно возмущенные задачи (54мин.)
• 6.3. Решение линейных жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисление матричной экспоненты (36мин.)
• 6.4. Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Семейства методов Рунге - Кутты и Розенброка (90мин.)
• 6.5. Формулы дифференцирования назад и методы Гира. Представление Нордсика (108мин.)
• Тест:  Методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (32мин.)

Тема 7. Моделирование динамических систем обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздыванием

• 7.1. Примеры математических моделей. Основные понятия (72мин.)
• 7.2. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (18мин.)
• 7.3. Непрерывные методы Рунге - Кутты (54мин.)
• 7.4. Уравнения с запаздыванием и задача интерполяции. Сплайны. B-сплайны (72мин.)
• 7.5. Некоторые примеры задач с запаздыванием (72мин.)
• Тест:  Моделирование динамических систем обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздыванием (20мин.)

Тема 8. Некоторые численные методы исследования бифуркаций особых точек и поиск периодических решений

• 8.1. Исследование эволюции особых точек при изменении параметра. Продолжение по параметру (36мин.)
• 8.2. Вычисление периодических решений для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и периодическая прогонка (54мин.)
• 8.3. Вычисление периодических решений для нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (72мин.)
• 8.4. Продолжение периодических решений по параметру (36мин.)
• Тест:  Некоторые численные методы исследования бифуркаций особых точек и поиск периодических решений (18мин.)

Тема 9. Численное решение некорректных задач. Поиски минимума

• 9.1. Определение некорректной задачи (36мин.)
• 9.2. Приближенные методы решения некорректных задач (72мин.)
• 9.3. Численные методы поиска минимума функцио-нала (126мин.)
• 9.4. Примеры оптимизационных задач в биологии и медицине (36мин.)
• Тест:  Численное решение некорректных задач. Поиски минимума (24мин.)

Тема 10. Математические модели процессов переноса. Методы численного решения уравнений переноса

• 10.1. Простейшее линейное уравнение переноса (36мин.)
• 10.2. Уравнения Фёрстера и связанные с ним математические модели (72мин.)
• 10.3. Квазилинейные уравнения гиперболического типа. Характеристики квазилинейных уравнений (36мин.)
• 10.4. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа на примере линейного уравнения переноса (108мин.)
• 10.5. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа для квазилинейного уравнения переноса (уравнения Хопфа) (90мин.)
• 10.6. Методы регуляризации численных решений с большими градиентами (72мин.)
• 10.7. Гибридные схемы Р. П. Федоренко (18мин.)
• 10.8. Схемы с уменьшением полной вариации (36мин.)
• 10.9. Идеи построения сеточно-характеристических методов и анализ разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов (126мин.)
• Тест:  Математические модели процессов переноса. Методы численного решения уравнений переноса (24мин.)

Заключение

Литература

Приложение. Практическая работа "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши"

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (56мин.)