Обозначения

Предисловие

Глава 1. Введение в оптимизацию. Классический метод

• 1.1. Постановка задачи (119мин.)
• • 1.1.1. Задача минимизации (85мин.)
  • 1.1.2. Задача максимизации (34мин.)
• 1.2. Теоремы Вейерштрасса (170мин.)
• • 1.2.1. Классическая теорема (51мин.)
  • 1.2.2. Обобщенная теорема Вейерштрасса (85мин.)
  • 1.2.3. Теорема Вейерштрасса для некомпактных множеств (34мин.)
• 1.3. Задачи безусловной оптимизации. Классический метод (136мин.)
• • 1.3.1. Описание метода (102мин.)
  • 1.3.2. Примеры (34мин.)
• 1.4. Задачи на условный экстремум. Правило множителей Лагранжа (356мин.)
• • 1.4.1. Постановка задачи. Необходимое условие оптимальности на выпуклом множестве (51мин.)
  • 1.4.2. Правило множителей Лагранжа в задачах с ограничениями типа равенств (34мин.)
  • 1.4.3. Правило множителей Лагранжа в общем случае (34мин.)
  • 1.4.4. Достаточные условия оптимальности (51мин.)
  • 1.4.5. Примеры (170мин.)
  • 1.4.6. Экономический смысл множителей Лагранжа (17мин.)
• 1.5. Метод штрафных функций (153мин.)
• • 1.5.1. Описание метода (51мин.)
  • 1.5.2. Сходимость метода (85мин.)
  • 1.5.3. Недостатки и достоинства метода (17мин.)
• 1.6. Обоснование правила множителей Лагранжа (51мин.)
• 1.7. Вспомогательные предложения (51мин.)
• • 1.7.1. Формулы конечных приращений (34мин.)
  • 1.7.2. Леммы о числовых последовательностях (17мин.)
• Упражнения (85мин.)
• Тест:  Введение в оптимизацию. Классический метод (76мин.)

Глава 2. Линейное программирование

• 2.1. Постановка задачи (102мин.)
• • 2.1.1. Общая задача линейного программирования (34мин.)
  • 2.1.2. Примеры (34мин.)
  • 2.1.3. Каноническая задача (17мин.)
  • 2.1.4. Основная задача (17мин.)
• 2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования (68мин.)
• 2.3. Угловые точки в канонической задаче (51мин.)
• 2.4. Симплекс-метод (305мин.)
• • 2.4.1. Приведенная задача (51мин.)
  • 2.4.2. Описание симплекс-метода (170мин.)
  • 2.4.3. Примеры (34мин.)
  • 2.4.4. Конечность метода в невырожденной задаче (51мин.)
• 2.5.* Антициклин (170мин.)
• • 2.5.1. Пример (34мин.)
  • 2.5.2. Лексикографическое упорядочение векторов (34мин.)
  • 2.5.3. Лексикографический антициклин (85мин.)
  • 2.5.4. Симплекс-метод в канонической задаче максимизации (17мин.)
• 2.6. Поиск начальной угловой точки (68мин.)
• 2.7. Теорема Вейерштрасса в линейном программировании (17мин.)
• 2.8. Теоремы двойственности (170мин.)
• Упражнения (51мин.)
• Тест:  Линейное программирование (62мин.)

Глава 3. Элементы выпуклого анализа

• 3.1. Выпуклые функции (187мин.)
• • 3.1.1. Понятие выпуклой функции (51мин.)
  • 3.1.2. Критерии выпуклости (51мин.)
  • 3.1.3. Свойства точек минимума выпуклых функций (34мин.)
  • 3.1.4. Другие свойства выпуклых функций (51мин.)
• 3.2. Сильно выпуклые функции (102мин.)
• • 3.2.1. Понятие сильно выпуклой функции (34мин.)
  • 3.2.2. Критерии сильной выпуклости (68мин.)
• 3.3. Метрическая проекция (119мин.)
• 3.4. Теорема Куна - Таккера (119мин.)
• 3.5. Теорема Куна - Таккера для многогранного множества (51мин.)
• 3.6.* Двойственные задачи. Примеры (153мин.)
• Упражнения (51мин.)
• Тест:  Элементы выпуклого анализа (52мин.)

Глава 4. Методы минимизации функций

• 4.1. Методы минимизации функций одной переменной (204мин.)
• • 4.1.1. Метод деления отрезка пополам (17мин.)
  • 4.1.2. Метод золотого сечения (34мин.)
  • 4.1.3. Метод ломаных (68мин.)
  • 4.1.4. Метод покрытия (68мин.)
  • 4.1.5. Метод касательных (17мин.)
• 4.2. Градиентный метод (170мин.)
• • 4.2.1. Описание процесса. Выбор шага, проблемы старта и остановки (68мин.)
  • 4.2.2. Сходимость метода скорейшего спуска для сильно выпуклых функций (51мин.)
  • 4.2.3. Траектория процесса. Непрерывный аналог градиентного метода (51мин.)
• 4.3. Метод проекции градиента (51мин.)
• • 4.3.1. Описание процесса. Варианты выбора шага (17мин.)
  • 4.3.2. Сходимость метода для сильно выпуклых функций (34мин.)
• 4.4. Метод условного градиента (85мин.)
• • 4.4.1. Идея линейной аппроксимации и варианты ее реализации (51мин.)
  • 4.4.2. Сходимость метода (34мин.)
• 4.5. Метод Ньютона (119мин.)
• • 4.5.1. Описание процесса. Варианты выбора шага (17мин.)
  • 4.5.2. Сходимость классического метода Ньютона для сильно выпуклых функций (51мин.)
  • 4.5.3. Сходимость метода Ньютона с переменным шагом для сильно выпуклых функций (51мин.)
• 4.6.* Метод переменной метрики (170мин.)
• • 4.6.1. Описание процесса. G-проекция (68мин.)
  • 4.6.2. Сходимость метода переменной метрики для выпуклых функций (51мин.)
  • 4.6.3. Непрерывный вариант метода переменной метрики (51мин.)
• 4.7.* Квазиньютоновские методы (204мин.)
• 4.8. Метод покоординатного спуска (68мин.)
• • 4.8.1. Основная версия метода для задач без ограничений (34мин.)
  • 4.8.2. Другие варианты метода покоординатного спуска (34мин.)
• 4.9. Метод покрытия для функции многих переменных (51мин.)
• 4.10.* Метод модифицированных функций Лагранжа (119мин.)
• 4.11.* Экстраградиентный метод (85мин.)
• • 4.11.1. Описание процесса (17мин.)
  • 4.11.2. Сходимость экстраградиентного метода (68мин.)
• Упражнения (34мин.)
• Тест:  Методы минимизации функций (66мин.)

Глава 5. Принцип максимума Понтрягина

• 5.1. Постановка задачи оптимального управления (187мин.)
• • 5.1.1. Примеры постановок задач оптимального управления (51мин.)
  • 5.1.2. Допустимые управления (17мин.)
  • 5.1.3. Задача Коши (68мин.)
  • 5.1.4. Постановка задачи (51мин.)
• 5.2. Принцип максимума в задаче оптимального управления со свободным правым концом (170мин.)
• • 5.2.1. Формулировка принципа максимума (17мин.)
  • 5.2.2. Краевая задача принципа максимума (85мин.)
  • 5.2.3. Доказательство принципа максимума Понтрягина (68мин.)
• 5.3.* Принцип максимума (общий случай) (102мин.)
• • 5.3.1. Формулировка принципа максимума в общем случае (34мин.)
  • 5.3.2. Краевая задача принципа максимума в общем случае (34мин.)
  • 5.3.3. Общие граничные условия (34мин.)
• 5.4.* Примеры (204мин.)
• 5.5.* Принцип максимума и классическое вариационное исчисление (68мин.)
• Упражнения (68мин.)
• Тест:  Принцип максимума Понтрягина (32мин.)

Глава 6. Динамическое программирование

• 6.1. Принцип оптимальности (34мин.)
• • Примеры определения вероятности для произвольных задач оптимизации (2мин.)
• 6.2. Схема Беллмана (204мин.)
• • 6.2.1. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления (17мин.)
  • 6.2.2. Уравнение Беллмана (51мин.)
  • 6.2.3. Вычислительная схема (34мин.)
  • 6.2.4. Синтезирующая функция (17мин.)
  • 6.2.5. Оценка погрешности (34мин.)
  • 6.2.6. Построение минимизирующих последовательностей (17мин.)
  • 6.2.7. Приложение к задачам конечномерной оптимизации (17мин.)
  • 6.2.8. Замечания к схеме Беллмана (17мин.)
• 6.3.* Проблема синтеза для систем с непрерывным временем (204мин.)
• • 6.3.1. Задача Коши - Беллмана (51мин.)
  • 6.3.2. Примеры (51мин.)
  • 6.3.3. Приближенный метод (51мин.)
  • 6.3.4. Оценка погрешности (34мин.)
• 6.4.* Контрпримеры (51мин.)
• 6.5.* Применение метода динамического программирования к задачам дискретной оптимизации (68мин.)
• Упражнения (51мин.)
• Тест:  Динамическое программирование (26мин.)

Практикум

Литература

Ответы к упражнениям

Предметный указатель

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (60мин.)