Предисловие

• МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)

Латинский и греческий алфавиты

Основные обозначения

Глава 1. Абстрактная оптимизация

• 1.1. Математическая формулировка и свойства общей проблемы оптимизации (39мин.)
• 1.2. Существование и отсутствие максимума (77мин.)
• • 1.2.1. Причины отсутствия максимума (39мин.)
  • 1.2.2. Необходимые и достаточные условия максимума (19мин.)
  • 1.2.3. Достаточные условия максимума (19мин.)
• 1.3. Эквивалентные и взаимные задачи оптимизации (97мин.)
• • 1.3.1. Эквивалентные преобразования критерия оптимальности (39мин.)
  • 1.3.2. Взаимная замена критерия оптимальности и ограничения допустимости (58мин.)
• 1.4. Теоретико-множественный подход к оптимизации (155мин.)
• • 1.4.1. Сведение проблемы оптимизации к поиску точной границы между пустотой и непустотой множеств желаемых решений (39мин.)
  • 1.4.2. Техника отыскания границы непустоты параметрически заданных множеств (39мин.)
  • 1.4.3. Пример решения задачи оптимизации через непустоту множества желаемых допустимых решений (39мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Абстрактная оптимизация (26мин.)

Глава 2. Конечномерная оптимизация

• 2.1. Геометрический способ решения (97мин.)
• • 2.1.1. Одномерные задачи (39мин.)
  • 2.1.2. Двумерные задачи (58мин.)
• 2.2. Аналитический метод последовательной оптимизации (135мин.)
• • 2.2.1. Общая схема метода (58мин.)
  • 2.2.2. Вырожденные примеры (19мин.)
  • 2.2.3. Невырожденный пример (39мин.)
  • Литература (19мин.)
• Тест:  Конечномерная оптимизация (10мин.)

Глава 3. Математическое программирование

• 3.1. Формы записи (39мин.)
• 3.2. Переход от глобальной оптимизации к локальной (77мин.)
• • 3.2.1. Степенная аппроксимация целевых функций (19мин.)
  • 3.2.2. Локальный максимум вместо глобального (19мин.)
  • 3.2.3. Градиент как средство локальной оптимизации (39мин.)
• 3.3. Условия экстремума во внутренней точке (213мин.)
• • 3.3.1. Анализ линейного приближения (19мин.)
  • 3.3.2. Анализ квадратичного приближения (58мин.)
  • 3.3.3. Детерминантная форма достаточных условий для локальных экстремумов (39мин.)
  • 3.3.4. Практические рекомендации и примеры (97мин.)
• 3.4. Условия максимума в граничных точках (232мин.)
• • 3.4.1. Максимум на гладком участке границы (97мин.)
  • 3.4.2. Максимум в угловой точке границы (39мин.)
  • 3.4.3. Отыскание глобального максимума перебором активных ограничений (19мин.)
  • 3.4.4. Решение классической задачи о потребительском выборе (58мин.)
  • 3.4.5. Универсальная методика Дубовицкого - Милютина получения необходимых условий оптимальности (19мин.)
• 3.5. Численные методы решения задач математического программирования (135мин.)
• • 3.5.1. Градиентные методы (39мин.)
  • 3.5.2. Метод штрафных функций (77мин.)
  • Литература (19мин.)
• Тест:  Математическое программирование (18мин.)

Глава 4. Метод Лагранжа и условия Куна - Таккера

• 4.1. Игровое изложение процедуры Лагранжа (97мин.)
• • 4.1.1. Сведение к максимину функции Лагранжа (58мин.)
  • 4.1.2. Седловая точка функции Лагранжа (39мин.)
• 4.2. Условия Куна - Таккера (116мин.)
• • 4.2.1. Необходимые условия экстремумов в седловой точке функции Лагранжа (39мин.)
  • 4.2.2. Пример использования условий Куна - Таккера (39мин.)
  • 4.2.3. Совпадение условий Куна - Таккера и градиентных условий максимума (39мин.)
• 4.3. Классическая задача на условный экстремум (174мин.)
• • 4.3.1. Специфика задачи (19мин.)
  • 4.3.2. Необходимые условия локальных экстремумов (19мин.)
  • 4.3.3. Квадратичный анализ (39мин.)
  • 4.3.4. Окаймленный гессиан (19мин.)
  • 4.3.5. Детерминантные достаточные признаки условных экстремумов (19мин.)
  • 4.3.6. Пример решения задачи на условный экстремум (39мин.)
  • 4.3.7. Анализ чувствительности (19мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Метод Лагранжа и условия Куна — Таккера (10мин.)

Глава 5. Выпуклое программирование

• 5.1. Выпуклость/вогнутость функций на всем пространстве Rn (155мин.)
• • 5.1.1. Определение вогнутости и выпуклости функций (39мин.)
  • 5.1.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций (39мин.)
  • 5.1.3. Конструктивные условия выпуклости/вогнутости функций (19мин.)
  • 5.1.4. Пример использования критерия Сильвестра для выявления характера функции (58мин.)
• 5.2. Выпуклость/вогнутость функций на выпуклых множествах (116мин.)
• • 5.2.1. Обобщение определений (39мин.)
  • 5.2.2. Свойства выпуклых множеств (19мин.)
  • 5.2.3. Дополнительные сведения о выпуклых/вогнутых функциях на выпуклых множествах (58мин.)
• 5.3. Условия оптимальности в задачах выпуклого программирования (174мин.)
• • 5.3.1. Определения задач выпуклого программирования (19мин.)
  • 5.3.2. Свойства решений (39мин.)
  • 5.3.3. Регулярность ограничений по Якоби и по Слейтеру (19мин.)
  • 5.3.4. Необходимость и достаточность условий Куна - Таккера для экстремумов выпуклых задач (39мин.)
  • 5.3.5. Многоэтапная схема решения общей задачи нелинейного программирования (39мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Выпуклое программирование (12мин.)

Глава 6. Линейное программирование

• 6.1. Особенности линейных моделей (251мин.)
• • 6.1.1. Типичный пример (39мин.)
  • 6.1.2. Общая запись модели (19мин.)
  • 6.1.3. Сходства и различия в записях задач линейной и нелинейной оптимизации (19мин.)
  • 6.1.4. Специфика линейной оптимизации по существу (77мин.)
  • 6.1.5. Пример геометрического решения (39мин.)
  • 6.1.6. Градиентный анализ на примере задачи об экспертизе (77мин.)
• 6.2. Симплекс-метод (155мин.)
• • 6.2.1. Идея симплекс-метода (19мин.)
  • 6.2.2. Техника симплекс-метода (58мин.)
  • 6.2.3. Транспортные задачи линейного программирования (77мин.)
• 6.3. Теория двойственности (213мин.)
• • 6.3.1. Экономическая интерпретация прямой и двойственной задач (116мин.)
  • 6.3.2. Вырожденные случаи (39мин.)
  • 6.3.3. Теоремы двойственности (39мин.)
  • 6.3.4. Пример двойственной задачи (19мин.)
• 6.4. Чувствительность к разным типам исходных данных (232мин.)
• • 6.4.1. Особенности проявления чувствительности в задачах линейного программирования (19мин.)
  • 6.4.2. Воздействие запасов ресурсов (77мин.)
  • 6.4.3. Воздействие цены продаж (39мин.)
  • 6.4.4. Воздействие удельных затрат (39мин.)
  • 6.4.5. Общие результаты о чувствительности максимумов (19мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Линейное программирование (18мин.)

Глава 7. Дискретная оптимизация

• 7.1. Особенности и примеры дискретных задач (174мин.)
• • 7.1.1. Специфика задач дискретной оптимизации (19мин.)
  • 7.1.2. Канонические примеры и классификация (77мин.)
  • 7.1.3. Классификация задач целочисленного программирования (39мин.)
  • 7.1.4. Геометрическое отыскание целочисленного решения и округление (39мин.)
• 7.2. Метод отсечений (Гомори) (58мин.)
• • 7.2.1. Идея метода (19мин.)
  • 7.2.2. Иллюстрация метода на примере (58мин.)
• 7.3. Метод ветвей и границ (155мин.)
• • 7.3.1. Сравнение с методом отсечений (19мин.)
  • 7.3.2. Иллюстрация метода на примере (39мин.)
  • 7.3.3. Общая схема (116мин.)
• 7.4. Сетевое планирование (116мин.)
• • 7.4.1. Построение сетевого графика (58мин.)
  • 7.4.2. Проверка построенного графа (19мин.)
  • 7.4.3. Формальное определение графа (19мин.)
• 7.5. Расчет минимальной продолжительности разработки проекта (58мин.)
• • 7.5.1. Отыскание критического пути (19мин.)
  • 7.5.2. Сведение к задаче линейного программирования (39мин.)
• 7.6. Задача о максимальном потоке в сети (116мин.)
• • 7.6.1. Формализация (19мин.)
  • 7.6.2. Метод минимального разреза (19мин.)
  • 7.6.3. Метод увеличивающей цепи (19мин.)
  • 7.6.4. Сведение к задаче линейного программирования (39мин.)
  • Литература (19мин.)
• Тест:  Дискретная оптимизация (18мин.)

Глава 8. Динамическое программирование

• 8.1. Уравнение Беллмана для конечно-разностных систем (174мин.)
• • 8.1.1. Принцип оптимальности (19мин.)
  • 8.1.2. Рекурсивная процедура для канонической задачи (97мин.)
  • 8.1.3. Распространение процедуры на функционал Больца (58мин.)
• 8.2. Обобщение беллмановской процедуры на задачи с фазовыми и смешанными ограничениями (58мин.)
• • 8.2.1. О происхождении фазовых и смешанных ограничений (19мин.)
  • 8.2.2. Общая схема решения (39мин.)
• 8.3. Решение некоторых статических задач методом динамического программирования (77мин.)
• • 8.3.1. Сведение статической задачи распределения ресурсов к динамической (39мин.)
  • 8.3.2. Сведение задачи линейного программирования к динамической (19мин.)
• 8.4. Уравнение Беллмана в непрерывном времени (135мин.)
• • Литература (19мин.)
• Тест:  Динамическое программирование (14мин.)

Глава 9. Принцип максимума в управлении динамическими системами

• 9.1. Формулировка динамических задач оптимизации (135мин.)
• • 9.1.1. Переменные и параметры динамических управляемых моделей (19мин.)
  • 9.1.2. Уравнения динамики (19мин.)
  • 9.1.3. Возможности и цели управления (39мин.)
  • 9.1.4. Качество управления (39мин.)
  • 9.1.5. О существовании оптимальных решений в динамических задачах (39мин.)
• 9.2. Необходимые условия оптимальности - принцип максимума Л. С. Понтрягина (174мин.)
• • 9.2.1. Идея принципа максимума (19мин.)
  • 9.2.2. Каноническая задача оптимального управления (19мин.)
  • 9.2.3. Теорема Л. С. Понтрягина (77мин.)
  • 9.2.4. Принцип максимума и классическое вариационное исчисление (39мин.)
  • 9.2.5. Уравнение Беллмана и принцип максимума Понтрягина (19мин.)
• 9.3. Использование теоремы Л. С. Понтрягина (425мин.)
• • 9.3.1. Пример решения задачи со свободным правым концом траектории (135мин.)
  • 9.3.2. Пример решения задачи с закрепленными концами траектории (271мин.)
• 9.4. Условия трансверсальности для задач с незакрепленными концами траектории (213мин.)
• • 9.4.1. Общая схема получения условий трансверсальности (77мин.)
  • 9.4.2. Примеры (19мин.)
  • 9.4.3. Условия трансверсальности и принцип максимума для функционала Больца (19мин.)
  • 9.4.4. Задачи с нефиксированным отрезком времени (97мин.)
• 9.5. Распространение принципа максимума на нестандартные задачи управления (290мин.)
• • 9.5.1. Смешанные ограничения на управление и фазовые координаты (39мин.)
  • 9.5.2. Постоянные управляющие параметры (19мин.)
  • 9.5.3. Требования к функциональному виду управления (39мин.)
  • 9.5.4. Ограниченное время действия управления (19мин.)
  • 9.5.5. Запаздывания в фазовых координатах (58мин.)
  • 9.5.6. Запаздывания в управлении (58мин.)
  • 9.5.7. Задачи в дискретном времени (58мин.)
• 9.6. Достаточные условия В. Ф. Кротова (329мин.)
• • 9.6.1. Вводные замечания (19мин.)
  • 9.6.2. Обобщенная формулировка задачи оптимального управления (19мин.)
  • 9.6.3. Идея достаточных условий и лемма о неулучшающем расширении (19мин.)
  • 9.6.4. Конструкция расширенного функционала и теорема о достаточности (39мин.)
  • 9.6.5. Построение производящей функции с использованием процедуры Понтрягина (77мин.)
  • 9.6.6. Построение производящей функции с использованием уравнения Беллмана (39мин.)
  • 9.6.7. Метод кратных максимумов (77мин.)
  • 9.6.8. Игровая идея численных методов построения производящей функции (19мин.)
  • Литература (19мин.)
• Тест:  Принцип максимума в управлении динамическими системами (44мин.)

Глава 10. Многокритериальное принятие решений

• 10.1. Недоминируемые, или эффективные, решения (213мин.)
• • 10.1.1. Многокритериальная и однокритериальная оптимизация (19мин.)
  • 10.1.2. Допустимые решения и критерии (19мин.)
  • 10.1.3. Недоминируемые, или эффективные, решения (39мин.)
  • 10.1.4. Пример континуальной двухкритериальной задачи (19мин.)
  • 10.1.5. Определение эффективности в пространстве управлений (19мин.)
  • 10.1.6. Пример дискретной задачи (39мин.)
  • 10.1.7. Трансформация эффективностей при расширении набора критериев (19мин.)
  • 10.1.8. Экспертно оцениваемые критерии и их шкалы (58мин.)
• 10.2. Выделение эффективных решений посредством однокритериальной оптимизации (155мин.)
• • 10.2.1. Метод критериальных ограничений (39мин.)
  • 10.2.2. Метод линейной свертки критериев (58мин.)
  • 10.2.3. Эффективные решения в линейных задачах (58мин.)
• 10.3. Дополнительные сведения о теории многоаспектного выбора (329мин.)
• • 10.3.1. Целевое программирование (58мин.)
  • 10.3.2. Линейные задачи целевого программирования (97мин.)
  • 10.3.3. Интерактивные методы многокритериального выбора (77мин.)
  • 10.3.4. Бескритериальная формализация предпочтений (58мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Многокритериальное принятие решений (18мин.)

Глава 11. Гарантирующее планирование в условиях неопределенности

• 11.1. Формализация проблемы гарантирующего управления (77мин.)
• • 11.1.1. Основные понятия (39мин.)
  • 11.1.2. Принцип гарантированного результата (39мин.)
• 11.2. Методы построения оптимальных гарантирующих планов (155мин.)
• • 11.2.1. Сведение к задаче математического программирования (39мин.)
  • 11.2.2. Пример решения задачи линейного программирования с неопределенностями (58мин.)
  • 11.2.3. Сведение к максимину без ограничений методом Лагранжа (39мин.)
• 11.3. Сравнение с идеальным управлением (97мин.)
• • 11.3.1. Максимизирующая стратегия (19мин.)
  • 11.3.2. Сопоставление по условиям разрешимости (19мин.)
  • 11.3.3. Сравнение по критерию качества (19мин.)
  • 11.3.4. Игровая интерпретация (19мин.)
  • 11.3.5. Пример наличия седловой точки (19мин.)
• 11.4. Другие способы выбора управления в условиях неопределенности (97мин.)
• • 11.4.1. Минимизация отклонения от идеального решения (39мин.)
  • 11.4.2. Оптимистические и промежуточные оценки (19мин.)
  • 11.4.3. Принцип равной вероятности (19мин.)
• 11.5. Гарантирующее планирование для динамических систем в непрерывном времени (251мин.)
• • 11.5.1. Конкретизация общей схемы на примере задачи управления запасами (58мин.)
  • 11.5.2. Сведение к задаче оптимального управления без возмущений (58мин.)
  • 11.5.3. Решение результирующей задачи (39мин.)
  • 11.5.4. Обобщающие замечания (39мин.)
  • 11.5.5. Численное построение допустимых гарантирующих планов (58мин.)
• 11.6. Гарантирующее пошаговое управление для динамических систем в дискретном времени (155мин.)
• • Литература (19мин.)
• Тест:  Гарантирующее планирование в условиях неопределенности (22мин.)

Глава 12. Вероятностное и вероятностно-гарантирующее планирование

• 12.1. Общие положения вероятностного планирования (58мин.)
• 12.2. Рандомизация выбора управления - смешанные стратегии (174мин.)
• • 12.2.1. Условия применимости смешанных стратегий (39мин.)
  • 12.2.2. Чистые и смешанные стратегии для матричных игр (39мин.)
  • 12.2.3. Матричная игра об инспекции сокрытия доходов и ее смешанное расширение (77мин.)
  • 12.2.4. Общий метод построения седловой точки в смешанных стратегиях для матричных игр (19мин.)
• 12.3. Вероятностно-гарантирующее планирование (77мин.)
• • 12.3.1. Вероятностно-гарантирующий подход (39мин.)
  • 12.3.2. Вероятностно-гарантирующие решения дискретных задач с конечными множествами возмущений и планов (39мин.)
• 12.4. Универсальная формулировка задачи о вероятностно- гарантирующем планировании (58мин.)
• • 12.4.1. Подмножества благоприятных возмущений (19мин.)
  • 12.4.2. Жесткие и нежесткие ограничения на управление (39мин.)
• 12.5. Предельная тождественность вероятностно-гарантирующего и гарантирующего планирования (290мин.)
• • 12.5.1. Возможный диапазон наилучших вероятностно-гарантирующих оценок (19мин.)
  • 12.5.2. Достаточные условия предельной тождественности (58мин.)
  • 12.5.3. Примеры отсутствия предельной тождественности (77мин.)
  • 12.5.4. Характер сходимости вероятностного решения к гарантирующему (135мин.)
• 12.6. Вероятностно-гарантирующее планирование в конечношаговой задаче управления запасами (290мин.)
• • 12.6.1. Модификации (19мин.)
  • 12.6.2. Формулировка задачи вероятностно-гарантирующего планирования (58мин.)
  • 12.6.3. Общие свойства (19мин.)
  • 12.6.4. Динамический пример (97мин.)
  • 12.6.5. Сравнение с идеальным и гарантирующим решениями (77мин.)
  • Литература (19мин.)
• Тест:  Вероятностное и вероятностно-гарантирующее планирование (18мин.)

Новые издания по дисциплине "Методы оптимизации" и смежным дисциплинам

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (60мин.)