Предисловие ко 2-му изданию

Предисловие к 1-му изданию

Некоторые обозначения

Глава 1. Множества в математике

• 1.1. Понятие множества (18мин.)
• • Множества в математике (12мин.)
• 1.2. Множества в математике (36мин.)
• 1.3. Синглетоны и пары (18мин.)
• 1.4. Функции (18мин.)
• 1.5. Отношения (36мин.)
• 1.6. Отношения порядка (18мин.)
• 1.7. Натуральные числа (36мин.)
• 1.8. Кортежи (18мин.)
• 1.9. Элементарные операции над множествами (36мин.)
• Исторические и библиографические замечания (18мин.)

Глава 2. Аксиоматическая теория множеств

• 2.1. Теория множеств Цермело - Френкеля (36мин.)
• 2.2. Комментарии к аксиомам (36мин.)
• 2.3. Универсум множеств и классы (36мин.)
• 2.4. Ординалы (71мин.)
• 2.5. Ординалы и фундированные отношения (36мин.)
• 2.6. Мощность множества. Кардиналы (36мин.)
• 2.7. Классификация кардиналов (18мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Аксиоматическая теория множеств (12мин.)

Глава 3. Универсум теории множеств

• 3.1. Теоретико-множественные структуры (36мин.)
• 3.2. Стандартные модели, или -модели (36мин.)
• 3.3. Иерархия фон Неймана и -индукция (18мин.)
• 3.4. Иерархия по мощности транзитивного замыкания (18мин.)
• 3.5. Ординальная определимость (36мин.)
• 3.6. Слабые теории и их модели (18мин.)
• 3.7. Теория Крипке - Платека (53мин.)
• 3.8. Абсолютность (36мин.)
• 3.9. Модели, не являющиеся -моделями (18мин.)
• 3.10. Фундированные ядра моделей (18мин.)
• 3.11. Стандартные множества моделей (36мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Универсум теории множеств (12мин.)

Глава 4. Дескриптивная теория множеств

• 4.1. Польские пространства (18мин.)
• 4.2. Бэровские произведения (36мин.)
• 4.3. Борелевские и проективные множества (18мин.)
• 4.4. Аналитические формулы, термы (53мин.)
• 4.5. Эффективная иерархия (18мин.)
• 4.6. Выходим из произведений бэровских пространств (36мин.)
• 4.7. Сведение расширенного языка к обычному (36мин.)
• 4.8. Преобразование аналитических формул (36мин.)
• 4.9. Классификация функций и точек (18мин.)
• 4.10. Приведение формул к регулярной форме (36мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Дескриптивная теория множеств (10мин.)

Глава 5. Первый проективный уровень, часть 1: основные структуры

• 5.1. А-множества (36мин.)
• 5.2. Деревья и ранги (53мин.)
• 5.3. Конституанты (36мин.)
• 5.4. Эффективная определимость конституант и некоторых других множеств (71мин.)
• 5.5. Решета (36мин.)
• 5.6. Униформизация, редукция, отделимость (36мин.)
• 5.7. Кодировка борелевских множеств (71мин.)
• 5.8. Определимость кодировки (18мин.)
• 5.9. Теоремы абсолютности (53мин.)
• Исторические и библиографические замечания (53мин.)
• Тест:  Первый проективный уровень, часть 1: основные структуры (14мин.)

Глава 6. Первый проективный уровень, часть 2: свойства регулярности

• 6.1. Основные свойства регулярности (36мин.)
• 6.2. Независимость свойств регулярности от пространства и меры (53мин.)
• 6.3. Первый проективный уровень (18мин.)
• 6.4. Мера, категория и борелевская кодировка (18мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Первый проективный уровень, часть 2: свойства регулярности (10мин.)

Глава 7. Свойства регулярности и проблемы Лузина - Новикова

• 7.1. Проблемы регулярности (36мин.)
• 7.2. Анализ проблем. Неразрешимость (36мин.)
• 7.3. План доказательства главной теоремы (18мин.)
• 7.4. О последовательностях конституант (36мин.)
• 7.5. Проблемы Лузина с конституантами (53мин.)
• 7.6. Узкая проблема континуума (18мин.)
• 7.7. Структура высших проективных классов (18мин.)
• Исторические и библиографические замечания (18мин.)
• Тест:  Свойства регулярности и проблемы Лузина - Новикова (12мин.)

Глава 8. Конструктивность по Гёделю

• 8.1. Общее понятие конструктивности (36мин.)
• 8.2. Конструктивная иерархия (18мин.)
• 8.3. Абсолютность гёделева построения (36мин.)
• 8.4. Аксиома конструктивности (18мин.)
• 8.5. Кардиналы конструктивных универсумов (36мин.)
• 8.6. Конструктивность и континуум (36мин.)
• 8.7. Доказательство ключевого утверждения (36мин.)
• 8.8. Контрпримеры к свойствам регулярности (53мин.)
• 8.9. Совершенные множества конструктивных точек (36мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Конструктивность по Гёделю (12мин.)

Глава 9. Основы форсинга и простейшие генерические расширения

• 9.1. Форсинг и генерические расширения (36мин.)
• 9.2. Структура генерических расширений (53мин.)
• 9.3. Отношение вынуждения (18мин.)
• 9.4. Форсинг Коэна (36мин.)
• 9.5. Случайный форсинг (36мин.)
• 9.6. Еще три примера (36мин.)
• 9.7. Форсинг склейки кардиналов (18мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Основы форсинга и простейшие генерические расширения (12мин.)

Глава 10. Резольвенты классических проблем о свойствах регулярности: часть 1

• 10.1. Множества, участвующие в резольвентах (36мин.)
• 10.2. Резольвенты свойств регулярности (18мин.)
• 10.3. 11-множества без совершенного ядра (18мин.)
• 10.4. Каких множеств достаточно избегать, чтобы быть случайной точкой? (36мин.)
• 10.5. Однородность и плотность (36мин.)
• 10.6. Нерегулярные множества второго уровня (53мин.)
• 10.7. Обобщение на произвольный идеал (36мин.)
• 10.8. Измеримость относительно идеала (71мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Резольвенты классических проблем о свойствах регулярности: часть 1 (12мин.)

Глава 11. Резольвенты классических проблем о свойствах регулярности: часть 2

• 11.1. Если конструктивных точек мало, то 11-множества имеют совершенные ядра (53мин.)
• 11.2. Форсинг в связи с идеалом множеств (53мин.)
• 11.3. Случайные точки: общий подход (36мин.)
• 11.4. Дальнейшие результаты (53мин.)
• 11.5. Два примера (18мин.)
• 11.6. Взаимно генерические точки (53мин.)
• 11.7. Если неслучайных точек мало, то множества второго уровня измеримы (71мин.)
• Исторические и библиографические замечания (18мин.)
• Тест:  Резольвенты классических проблем о свойствах регулярности: часть 2 (12мин.)

Глава 12. Комбинаторика финального доминирования

• 12.1. Финальные отношения (36мин.)
• 12.2. Финальное доминирование и мера (71мин.)
• 12.3. Финальное доминирование и категория (36мин.)
• 12.4. Вывод свойство Бэра из измеримости для 12-множеств (53мин.)
• 12.5. Доказательство ключевой леммы (18мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Комбинаторика финального доминирования (10мин.)

Глава 13. Абсолютно неразрешимые классические проблемы

• 13.1. Основные результаты и комментарии (53мин.)
• 13.2. Одна склеивающая функция (18мин.)
• 13.3. Доказательство ключевых лемм (71мин.)
• 13.4. Склеивающие функции в числе ℵ2 (71мин.)
• 13.5. Свойство совершенного ядра (53мин.)
• 13.6. Модель Соловея (71мин.)
• 13.7. Вторая модель Соловея (18мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Абсолютно неразрешимые классические проблемы (10мин.)

Глава 14. Необратимость импликаций

• 14.1. Главная теорема (18мин.)
• 14.2. Доказательство первого утверждения главной теоремы (36мин.)
• 14.3. Доказательство второго утверждения главной теоремы (107мин.)
• 14.4. О суммах нигде неплотных множеств (36мин.)
• 14.5. Доказательство шестого утверждения главной теоремы (36мин.)
• 14.6. Доказательство третьего утверждения главной теоремы (71мин.)
• 14.7. Доказательство четвертого утверждения главной теоремы (71мин.)
• 14.8. Доказательство пятого утверждения главной теоремы (71мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)
• Тест:  Необратимость импликаций (10мин.)

Глава 15. Положительные решения проблем о конституантах

• 15.1. Главная теорема (18мин.)
• 15.2. План доказательства (18мин.)
• 15.3. Последовательности счетных моделей (36мин.)
• 15.4. Фундированная подобласть (53мин.)
• 15.5. Суслинская система: вариант А (36мин.)
• 15.6. Суслинская система: вариант В (18мин.)
• 15.7. Редукция к замкнутым множествам (18мин.)
• 15.8. Случай решет (18мин.)
• Исторические и библиографические замечания (18мин.)
• Тест:  Положительные решения проблем о конституантах (10мин.)

Глава 16. Отрицательные решения проблем о конституантах

• 16.1. Главные теоремы о конституантах (36мин.)
• 16.2. Техническое введение в доказательство (18мин.)
• 16.3. Абсолютность некоторых утверждений (107мин.)
• 16.4. Обобщенные коды борелевских множеств (18мин.)
• 16.5. Универсальные деревья (36мин.)
• 16.6. Сжатые коды и лемма о сжатии (36мин.)
• 16.7. Теорема ограничения ранга (18мин.)
• 16.8. Доказательство главных теорем (18мин.)
• 16.9. Доказательство теоремы о выборе кодов (89мин.)
• Исторические и библиографические замечания (18мин.)
• Тест:  Отрицательные решения проблем о конституантах (10мин.)

Глава 17. "Узкие проблемы" Лузина

• 17.1. Используя аксиому выбора (53мин.)
• 17.2. Теорема Фремлина - Шелаха (53мин.)
• 17.3. Эффективная постановка проблем (18мин.)
• 17.4. Положительные решения проблем (36мин.)
• 17.5. Отрицательные решения проблем (18мин.)
• 17.6. Снова модель Соловея (18мин.)
• 17.7. Доказательство теоремы о выборе кодов (71мин.)
• Исторические и библиографические замечания (36мин.)

Глава 18. Дальнейшие результаты

• 18.1. Нужен ли недостижимый кардинал? (18мин.)
• 18.2. Третий проективный уровень (18мин.)
• 18.3. σ-ССС-идеалы и регулярность (53мин.)
• 18.4. Континуум-гипотеза и отношения эквивалентности (89мин.)

Список литературы

Новые издания по дисциплине "Теория множеств" и смежным дисциплинам

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (60мин.)