Введение

Тема 1. Векторные пространства. Матрицы и определители

• 1.1. Определение и примеры полей (21мин.)
• 1.2. Поле комплексных чисел: конструкция в виде пар из (21мин.)
• 1.3. Модуль и аргумент комплексного числа (21мин.)
• 1.4. Формула Муавра. Извлечение корня (21мин.)
• 1.5. Отношение эквивалентности и разбиение на классы (41мин.)
• 1.6. Эквивалентность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях (41мин.)
• 1.7. Приведение к ступенчатому виду методом Гаусса (62мин.)
• 1.8. Условия совместности и определенности (41мин.)
• 1.9. Векторные пространства (41мин.)
• 1.10. Подпространство, линейная зависимоств (21мин.)
• 1.11. Базис и размерность: существование и свойства (41мин.)
• 1.12. Изоморфизм векторных пространств одной размерности (21мин.)
• 1.13. Базис подпространства векторного пространства (21мин.)
• 1.14. Сумма и пересечение подпространств (41мин.)
• 1.15. Пространства линейных отображений и матриц (21мин.)
• 1.16. Изоморфизм пространств линейных отображений и матриц (41мин.)
• 1.17. Суперпозиция отображений и произведение матриц (41мин.)
• 1.18. Обратимые преобразования и матрицы (62мин.)
• 1.19. Характеризация обратимости в терминах ядра и образа (21мин.)
• 1.20. Вертикальный и горизонтальный ранги матриц (21мин.)
• 1.21. Ранг как размерность образа. Ранг произведения матриц (41мин.)
• 1.22. Эквивалентности матриц одного ранга (21мин.)
• 1.23. Теорема Кронекера - Капелли (41мин.)
• 1.24. Размерность пространства решений, фундаментальная система решений (21мин.)
• 1.25. Линейные многообразия (21мин.)
• 1.26. Фактор-пространство: базис, размерность (21мин.)
• 1.27. Определитель квадратной матрицы: основные свойства (82мин.)
• 1.28. Определитель как кососимметрическая полилинейная нормированная функция (21мин.)
• 1.29. Теорема об определителе транспонированной матрицы (21мин.)
• 1.30. Разложсение определителя по любому столбцу. Присоединенная матрица (41мин.)
• 1.31. Определитель произведения матриц (21мин.)
• 1.32. Формулы Крамера (21мин.)
• 1.33. Минорный ранг. Теорема об окаймляющем миноре (41мин.)
• Тест:  Векторные пространства. Матрицы и определители (28мин.)

Тема 2. Группы, кольца, поля

• 2.1. Алгебраическая система, подсистема, изоморфизм (21мин.)
• 2.2. Теорема об обобщенной ассоциативности (41мин.)
• 2.3. Подгруппы, циклические группы. Порядок элемента и порядок порожденной им циклической группы (41мин.)
• 2.4. Симметрическая группа. Разложение подстановки на независимые циклы (41мин.)
• 2.5. Разложение на транспозиции, независимость четности числа сомноэсителей. Знакопеременная группа (41мин.)
• 2.6. Теорема о полном развертывании определителя (21мин.)
• 2.7. Изоморфизм групп, теорема Кэли (62мин.)
• 2.8. Смежные классы по подгруппе. Tеорема Лагранжа (21мин.)
• 2.9. Нормальные подгруппы и фактор-грyппы (41мин.)
• 2.10. Теорема о гомоморфизмах грyпп (21мин.)
• 2.11. Кольца. Многочлены, нормальные степенные ряды (82мин.)
• 2.12. Гомоморфизмы и идеалы колец. Фактор-кольцо и основная теорема о гомоморфизмах колец. Кольцо n (41мин.)
• 2.13. Поле, простое подполе, расширение поля. Поле Fp. Характеристика поля (62мин.)
• 2.14. Матричная конструкция поля . Групповые свойства корней из единицы (21мин.)
• 2.15. Максимальные идеалы колец и поля вычетов (21мин.)
• 2.16. Целостные кольца и поля частных. Поле рядов Лорана (62мин.)
• Тест:  Группы, кольца, поля (18мин.)

Тема 3. Кольца многочленов

• 3.1. Алгоритм деления с остатком (21мин.)
• 3.2. Факториальные кольца. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в факториальных кольцах (82мин.)
• 3.3. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида (41мин.)
• 3.4. Факториальность евклидовых колец (21мин.)
• 3.5. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса (21мин.)
• 3.6. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом (21мин.)
• 3.7. Неприводимые многочлены, признак неприводимости Эйзенштейна (21мин.)
• 3.8. Разложение рациональных функций на простейшие дроби (62мин.)
• 3.9. Корни многочлена и линейные множители. Интерполяционные формулы (41мин.)
• 3.10. Теорема о существовании корня. Поле разложения (41мин.)
• 3.11. Формула Тейлора. Отделение кратных множсителей (41мин.)
• 3.12. Формуль Виета. Основная теорема о симметрических многочленах (103мин.)
• 3.13. Дискриминант. Формулы Ньютона (82мин.)
• 3.14. Результант как определитель наличия общих множсителей (41мин.)
• 3.15. Результант как симметрическая функция корней (41мин.)
• 3.16. Алгебраическал замкнутость поля (41мин.)
• 3.17. Разложение многочленов на множители над полями , , (21мин.)
• 3.18. Границы корней. Теорема Штурма (62мин.)
• Тест:  Кольца многочленов (20мин.)

Тема 4. Линейные преобразования векторных пространств

• 4.1. Матрица линейного отображсения (21мин.)
• 4.2. Координаты образа вектора. Изменение матрицы при изменении базы (21мин.)
• 4.3. Однозначное определение линейного преобразования по образу базиса (21мин.)
• 4.4. Изоморфизм алгебр L(V, V) и Mn(F) (21мин.)
• 4.5. Характеристические многочлены подобных матриц. Подобие матриц (21мин.)
• 4.6. Теорема Гамильтона - Кэли (21мин.)
• 4.7. Инвариантные подпространства, условия их существования (41мин.)
• 4.8. Характеристический многочлен линейного преобразования (21мин.)
• 4.9. Собственные векторы и значения. Независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям (41мин.)
• 4.10. Минимальные многочлены матриц и линейных преобразований (21мин.)
• 4.11. Нильпотентные преобразования, канонический вид их матриц (41мин.)
• 4.12. Минимальный и характеристический многочлены от матрицы Жордана (41мин.)
• 4.13. Векторное пространство как прямая сумма корневых подпространств (62мин.)
• 4.14. Теорема Жордана - существование жордановой нормальной формы (41мин.)
• 4.15. Теорема Жордана - единственность жордановой нормальной формы (41мин.)
• 4.16. Задача о подобии матриц (21мин.)
• 4.17. Функции от матриц (41мин.)
• 4.18. Представление функций от матрии многочленами (62мин.)
• Тест:  Линейные преобразования векторных пространств (22мин.)

Тема 5. Евклидовы и унитарные пространства

• 5.1. Аксиоматика и примеры унитарных и евклидовых пространств (21мин.)
• 5.2. Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши - Буняковского (41мин.)
• 5.3. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта (41мин.)
• 5.4. Ортогональные суммы и ортогональные дополнения (21мин.)
• 5.5. Пространство как ортогональная сумма подпространств (21мин.)
• 5.6. Существование и единственность сопряженного преобразования (21мин.)
• 5.7. Матрица сопряженного преобразования (21мин.)
• 5.8. Канонический вид нормального преобразования унитарного пространства (41мин.)
• 5.9. Изоморфизм унитарных пространств (21мин.)
• 5.10. Канонический вид нормального преобразования евклидова пространства (62мин.)
• 5.11. Унитарные и ортогональные преобразования. Канонический вид матриц этих преобразований (62мин.)
• 5.12. Эрмитовы и симметрические преобразования. Канонический вид матриц этих преобразований (21мин.)
• 5.13. Положительные и неотрицательные преобразования (41мин.)
• 5.14. Сингулярное и полярное разложение линейного преобразования (41мин.)
• Тест:  Евклидовы и унитарные пространства (20мин.)

Тема 6. Квадратичные формы

• 6.1. Матрица квадратичной формы, ее поведение при замене неизвестных (21мин.)
• 6.2. Приведение квадратичной формы к главным осям (21мин.)
• 6.3. Алгоритм Лагранжа приведения формы к диагональному виду (21мин.)
• 6.4. Закон инерции квадратичных форм (21мин.)
• 6.5. Формула Якоби приведения формы к диагональному виду (41мин.)
• 6.6. Необходимые и достаточные условия положительной определенности формы (21мин.)
• 6.7. Одновременная диагонализация двух квадратичных форм (41мин.)
• Тест:  Квадратичные формы (14мин.)

Тема 7. Базис Грёбнера

• 7.1. Эквивалентность систем алгебраических уравнений. Теорема Гильберта о базисе (21мин.)
• 7.2. Идеал системы, аффинное алгебраическое многообразие, радикал идеала (41мин.)
• 7.3. Базис Грёбнера идеала (41мин.)
• 7.4. Системы алгебраических уравнений и базисы Грёбнера (41мин.)
• Тест:  Базис Грёбнера (10мин.)

Тема 8. Тензорные произведения

• 8.1. Тензорное произведение векторных пространств (82мин.)
• 8.2. Тензорные произведения алгебр (21мин.)
• 8.3. Тензорная алгебра (21мин.)
• 8.4. Симметрическая алгебра (41мин.)
• 8.5. Внешняя алгебра (62мин.)
• Тест:  Тензорные произведения (10мин.)

Литература

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (48мин.)