Предисловие

Тема 1. Первичные понятия

• Числовые и алгебраические системы (198мин.)
• • Определения основных понятий (165мин.)
  • МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)
• Тест:  Первичные понятия (10мин.)

Тема 2. Натуральные числа

• 1. Натуральный ряд (165мин.)
• • Формирование определения (66мин.)
  • Независимость аксиом Пеано (33мин.)
  • О непротиворечивости аксиоматической теории натуральных чисел (33мин.)
  • Принцип полной математической индукции (66мин.)
• 2. Сложение. Аддитивная полугруппа натуральных чисел (132мин.)
• • Сложение натуральных чисел (99мин.)
  • Основные свойства сложения (33мин.)
• 3. Умножение. Полукольцо натуральных чисел (99мин.)
• • Умножение натуральных чисел (66мин.)
  • Основные свойства умножения (33мин.)
• 4. Отношение "меньше". Линейно упорядоченное множество натуральных чисел (132мин.)
• • Вспомогательные утверждения (33мин.)
  • Отношение "меньше" для натуральных чисел (66мин.)
  • Основные свойства линейно упорядоченного множества натуральных чисел (33мин.)
• 5. Различные виды доказательств по индукции (66мин.)
• • Усиленный принцип полной математической индукции (33мин.)
  • Обобщенный принцип полной математической индукции (33мин.)
  • Обобщенный усиленный принцип полной математической индукции (33мин.)
• 6. Упорядоченное полукольцо натуральных чисел (33мин.)
• • Связь между операциями +, и отношением < (33мин.)
  • Основные свойства упорядоченного полукольца натуральных чисел (33мин.)
• 7. Индуктивные определения (99мин.)
• • Обоснование индуктивных определений (66мин.)
  • Сумма и произведение нескольких элементов (33мин.)
• 8. Изоморфизм одноименных систем натуральных чисел (99мин.)
• • Чем могут отличаться одноименные системы натуральных чисел? (99мин.)
• 9. Конечные и счетные множества (132мин.)
• • Определение и основное свойство конечного множества (33мин.)
  • Число элементов объединения и прямого произведения двух конечных множеств (33мин.)
  • Счетные множества (66мин.)
• Тест:  Натуральные числа (52мин.)

Тема 3. Целые числа

• 1. Определение системы целых чисел (99мин.)
• • Формирование определения (33мин.)
  • Кольцо целых чисел как расширение полукольца натуральных чисел (33мин.)
  • Определение кольца целых чисел с помощью понятия разности натуральных чисел (33мин.)
• 2. Существование системы целых чисел (66мин.)
• • Вводные соображения (33мин.)
  • Построение кольца целых чисел (66мин.)
• 3. Основные свойства системы целых чисел (231мин.)
• • Основные свойства колец (33мин.)
  • Область целостности (33мин.)
  • Упорядоченное кольцо целых чисел (66мин.)
  • Деление с остатком (33мин.)
  • Представление целого числа в десятичной системе счисления (33мин.)
  • Изоморфизм систем целых чисел (33мин.)
  • Системы с основным множеством целых чисел (33мин.)
• Тест:  Целые числа (10мин.)

Тема 4. Рациональные числа

• 1. Определение системы рациональных чисел (66мин.)
• • Формирование определения (33мин.)
  • Поле рациональных чисел как расширение кольца целых чисел (33мин.)
• 2. Существование системы рациональных чисел (33мин.)
• • Вводные соображения (33мин.)
  • Построение поля рациональных чисел (33мин.)
• 3. Основные свойства системы рациональных чисел (132мин.)
• • Основные свойства полей (33мин.)
  • Упорядоченное поле рациональных чисел (66мин.)
  • Изоморфизм (упорядоченных) полей рациональных чисел (33мин.)
  • Системы с основным множеством рациональных чисел (33мин.)
• 4. Представление рациональных чисел десятичными дробями (165мин.)
• • Десятичные дроби (33мин.)
  • Способ представления рационального числа десятичной дробью (132мин.)
• Тест:  Рациональные числа (14мин.)

Тема 5. Действительные числа

• 1. Определение системы действительных чисел (132мин.)
• • Формирование определения (66мин.)
  • Обсуждение определения (66мин.)
• 2. Существование системы действительных чисел (231мин.)
• • Вводные соображения (33мин.)
  • Линейно упорядоченное множество десятичных дробей (66мин.)
  • Конечные десятичные дроби (33мин.)
  • Сложение произвольных десятичных дробей (66мин.)
  • Основные свойства сложения десятичных дробей (33мин.)
  • Умножение произвольных десятичных дробей (66мин.)
• 3. Представление действительных чисел десятичными дробями (198мин.)
• • Последовательность стягивающихся отрезков (33мин.)
  • Целая часть действительного числа (33мин.)
  • Представление действительного числа десятичной дробью (66мин.)
  • Связь между отношениями линейного порядка на множествах R и S (33мин.)
  • Другая трактовка понятия представимости действительного числа десятичной дробью (33мин.)
  • Характеризация рационального числа через его представление в виде десятичной дроби (33мин.)
• 4. Изоморфизм упорядоченных полей действительных чисел (66мин.)
• • Представление в виде десятичной дроби суммы и произведения двух действительных чисел (33мин.)
  • Изоморфные отображения упорядоченного поля действительных чисел (33мин.)
  • Еще один аспект понятия представимости действительного числа десятичной дробью (33мин.)
• 5. Аксиома Архимеда и усиленная аксиома Кантора в упорядоченных полях (99мин.)
• • Упорядоченные поля, удовлетворяющие аксиоме Архимеда (66мин.)
  • Усиленная аксиома Кантора (33мин.)
• 6. Степени и логарифмы (198мин.)
• • Степень с целым показателем (33мин.)
  • Степень с рациональным показателем (66мин.)
  • Степень с действительным показателем (66мин.)
  • Логарифмы (33мин.)
• 7. Другие определения системы действительных чисел (165мин.)
• • Определения системы действительных чисел с помощью понятий сечения и верхней границы (99мин.)
  • Определение системы действительных чисел с помощью понятия фундаментальной последовательности (66мин.)
• 8. p-адические числа (495мин.)
• • Кольцо m-адических чисел (165мин.)
  • 10-адические числа (66мин.)
  • m-адическая норма (33мин.)
  • Нормированные поля (99мин.)
  • Абстрактная характеризация поля p-адических чисел и поля действительных чисел с помощью понятия нормы (132мин.)
• Тест:  Действительные числа (10мин.)

Тема 6. Комплексные, двойные и дуальные числа

• 1. Комплексные числа (66мин.)
• • Формирование определения (33мин.)
  • Алгебраическая форма комплексного числа (33мин.)
  • Существование поля комплексных чисел (33мин.)
• 2. Основные свойства комплексных чисел (66мин.)
• • Единственность алгебраической формы. Об отношении линейного порядка на множестве комплексных чисел (33мин.)
  • Изоморфизм (33мин.)
  • Расширения числовых систем, связанные с решением уравнений (33мин.)
• 3. Двойные и дуальные числа (99мин.)
• • Определение и существование двойных и дуальных чисел (33мин.)
  • Общий взгляд на комплексные, двойные и дуальные числа (66мин.)
• Тест:  Комплексные, двойные и дуальные числа (10мин.)

Тема 7. Алгебры над полем действительных чисел

• 1. Кватернионы (33мин.)
• • Формирование определения (33мин.)
  • Определение и существование системы кватернионов (33мин.)
• 2. Общая характеризация некоторых числовых систем (198мин.)
• • Необходимые сведения из курса алгебры (33мин.)
  • Характеризация комплексных, двойных и дуальных чисел как алгебр над полем действительных чисел (33мин.)
  • Общий взгляд на действительные, комплексные числа и кватернионы (99мин.)
  • Гиперкомплексные числа (33мин.)
• Тест:  Алгебры над полем действительных чисел (10мин.)

Список литературы

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (0мин.)