Предисловие

Глава 1. Введение. Основные понятия о дифференциальных уравнениях

• 1.1. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений (99мин.)
• 1.2. Понятие решения дифференциального уравнения (99мин.)
• 1.3. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения (40мин.)
• 1.4. Системы дифференциальных уравнений (40мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (20мин.)
• МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)
• Тест:  Введение. Основные понятия о дифференциальных уравнениях (24мин.)

Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

• 2.1. Основные определения. Понятие решения. Различные способы представления решения (79мин.)
• 2.2. Задача Коши (119мин.)
• 2.3. Геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения первого порядка (59мин.)
• 2.4. Общее решение и общий интеграл дифференциальных уравнений. Особые точки и особые решения (40мин.)
• 2.5. Дифференциальные уравнения первого порядка, допускающие интегри рование в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными (99мин.)
• 2.6. Приведение к ДУ с разделяющимися переменными. Замены переменных (40мин.)
• 2.7. Однородные ДУ первого порядка. Квазиоднородные ДУ (59мин.)
• 2.8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (20мин.)
• 2.9. Дифференциальный оператор (40мин.)
• 2.10. Решение линейных дифференциальных уравнений (139мин.)
• • 2.10.1. Решение линейного однородного дифференциального уравнения (59мин.)
  • 2.10.2. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (59мин.)
  • 2.10.3. Решение линейного дифференциального уравнения при условии разрыва первого рода коэффициентов уравнения (20мин.)
• 2.11. Дифференциальные уравнения первого порядка, сводящиеся к линейным (59мин.)
• • 2.11.1. Уравнение Бернулли (20мин.)
  • 2.11.2. Уравнение Риккати (40мин.)
• 2.12. Различие между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями (59мин.)
• 2.13. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (99мин.)
• 2.14. Зависимость решения дифференциального уравнения от параметров и начальных условий (40мин.)
• 2.15. Понятие огибающей (40мин.)
• 2.16. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной (99мин.)
• 2.17. Дифференциальные уравнения Клеро, Лагранжа (40мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (40мин.)
• Тест:  Дифференциальные уравнения первого порядка (62мин.)

Глава 3. Дифференциальные уравнения второго порядка

• 3.1. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка (139мин.)
• • 3.1.1. Основные определения (40мин.)
  • 3.1.2. Приведение к дифференциальному уравнению первого порядка (40мин.)
  • 3.1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (20мин.)
  • 3.1.4. Дифференциальный оператор (40мин.)
  • 3.1.5. Задача Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (20мин.)
• 3.2. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (40мин.)
• • 3.2.1. Свойства решений однородного линейного дифференциального уравнения (20мин.)
  • 3.2.2. Ядро линейного оператора (20мин.)
• 3.3. Линейная зависимость и независимость функций (59мин.)
• • 3.3.1. Критерий линейной зависимости двух функций (20мин.)
  • 3.3.2. Определитель Вронского и его свойства (40мин.)
• 3.4. Линейно зависимые и линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения (159мин.)
• • 3.4.1. Фундаментальные системы решений однородного дифференциального уравнения (99мин.)
  • 3.4.2. Теорема Абеля. Формула Остроградского — Лиувилля (40мин.)
• 3.5. Теоремы о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения (59мин.)
• • 3.5.1. Однородное дифференциальное уравнение (40мин.)
  • 3.5.2. Неоднородное дифференциальное уравнение (20мин.)
• 3.6. Метод вариации постоянных (40мин.)
• 3.7. Представление решения задачи Коши (59мин.)
• 3.8. Понижение порядка однородного дифференциального уравнения (119мин.)
• 3.9. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (59мин.)
• 3.10. Метод неопределенных коэффициентов (79мин.)
• 3.11. Уравнения Эйлера, Лагранжа и Чебышева (79мин.)
• 3.12. Нули решений дифференциального уравнения второго порядка (119мин.)
• • 3.12.1. Теорема о конечности числа нулей на отрезке (20мин.)
  • 3.12.2. Теоремы о чередовании нулей, сравнения и Кнезера (79мин.)
  • 3.12.3. Нули решений нелинейных дифференциальных уравнений (20мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (59мин.)
• Тест:  Дифференциальные уравнения второго порядка (54мин.)

Глава 4. Дифференциальные уравнения высших порядков

• 4.1. Основные определения (40мин.)
• 4.2. Основные случаи понижения порядка дифференциального уравнения n-го порядка (119мин.)
• 4.3. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка (20мин.)
• 4.4. Дифференциальный оператор. Свойства решений линейного дифференциального уравнения (20мин.)
• 4.5. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского (59мин.)
• 4.6. Линейная зависимость и независимость решений однородного диффе ренциального уравнения. Формула Остроградского — Лиувилля (20мин.)
• 4.7. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения (40мин.)
• • 4.7.1. Восстановление однородного дифференциального уравнения по известной фундаментальной системе решений (20мин.)
  • 4.7.2. Формула Остроградского — Лиувилля (20мин.)
• 4.8. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения (119мин.)
• • 4.8.1. Метод Лагранжа (79мин.)
  • 4.8.2. Понижение порядка линейного однородного дифференциального уравнения (20мин.)
• 4.9. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (59мин.)
• 4.10. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (79мин.)
• • 4.10.1. Уравнения Эйлера, Лагранжа (20мин.)
  • 4.10.2. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов (20мин.)
• 4.11. Уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения (40мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (40мин.)
• Тест:  Дифференциальные уравнения высших порядков (30мин.)

Глава 5. Системы линейных дифференциальных уравнений

• 5.1. Основные определения (119мин.)
• 5.2. Приведение к системе дифференциальных уравнений первого порядка систем и уравнений более высоких порядков (59мин.)
• 5.3. Расширения основных определений и операций для матриц (59мин.)
• 5.4. Линейное пространство и линейный оператор (119мин.)
• 5.5. Линейные системы дифференциальных уравнений (20мин.)
• 5.6. Дифференциальный оператор (40мин.)
• 5.7. Линейная зависимость и независимость функций (59мин.)
• 5.8. Фундаментальная система решений (79мин.)
• 5.9. Структура общего решения линейной системы дифференциальных уравнений (119мин.)
• • 5.9.1. Решение задачи Коши с помощью фундаментальной матрицы (40мин.)
  • 5.9.2. Метод вариации постоянных (59мин.)
• 5.10. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (198мин.)
• 5.11. Решение систем n дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (198мин.)
• • 5.11.1. Диагонализация матрицы неоднородной системы дифференциальных уравнений (20мин.)
  • 5.11.2. Кратные корни характеристического уравнения матрицы системы дифференциальных уравнений (119мин.)
• 5.12. Функции от матриц (119мин.)
• 5.13. Применение к решению системы линейных дифференциальных уравнений матричной экспоненты (139мин.)
• • 5.13.1. Решение однородной системы дифференциальных уравнений с помощью матричной экспоненты (59мин.)
  • 5.13.2. Решение задачи Коши для неоднородной системы дифференциальных уравнений с помощью матричной экспоненты (40мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (59мин.)
• Тест:  Системы линейных дифференциальных уравнений (66мин.)

Глава 6. Первые интегралы

• 6.1. Основные понятия и определения (119мин.)
• 6.2. Функциональная зависимость (40мин.)
• 6.3. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов (59мин.)
• 6.4. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений с помощью первых интегралов (59мин.)
• 6.5. Способ построения первого интеграла для линейных систем произвольного порядка с постоянными коэффициентами (59мин.)
• 6.6. Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными (59мин.)
• 6.7. Квазилинейное дифференциальное уравнение (40мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (20мин.)
• Тест:  Первые интегралы (28мин.)

Глава 7. Краевые задачи для дифференциальных уравнений

• 7.1. Постановка краевой задачи (99мин.)
• 7.2. Линейная краевая задача (59мин.)
• 7.3. Приведение краевой задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями (59мин.)
• 7.4. Самосопряженный вид дифференциального уравнения второго порядка (119мин.)
• 7.5. Функция Грина (79мин.)
• • 7.5.1. Метод построения функции Грина при однородных краевых условиях (40мин.)
  • 7.5.2. Решение неоднородной краевой задачи вида с помощью функции Грина (40мин.)
• 7.6. Дифференциальный оператор: сопряженные и самосопряженные операторы (40мин.)
• • 7.6.1. Тождество Лагранжа (20мин.)
  • 7.6.2. Формула Грина (20мин.)
• 7.7. Задача Штурма — Лиувилля (238мин.)
• • 7.7.1. Введение параметра в краевую задачу (59мин.)
  • 7.7.2. Решение задачи Штурма — Лиувилля (20мин.)
  • 7.7.3. Сведение задачи Штурма — Лиувилля к интегральному уравнению (20мин.)
  • 7.7.4. Примеры решения задач Штурма — Лиувилля (79мин.)
  • 7.7.5. Неоднородная задача Штурма — Лиувилля (59мин.)
• 7.8. Пример решения краевой задачи (79мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (20мин.)
• Тест:  Краевые задачи для дифференциальных уравнений (38мин.)

Глава 8. Элементы теории устойчивости

• 8.1. Основные понятия и определения (99мин.)
• 8.2. Устойчивость систем дифференциальных уравнений (79мин.)
• 8.3. Функции Ляпунова. Теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости (40мин.)
• 8.4. Особые точки на фазовой плоскости (238мин.)
• 8.5. Понятие о предельном цикле (40мин.)
• 8.6. Построение функции Ляпунова для анализа устойчивости линейной системы общего вида (59мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (40мин.)
• Тест:  Элементы теории устойчивости (32мин.)

Глава 9. Преобразование Лапласа

• 9.1. Определение интегрального оператора и интегрального преобразования Лапласа (40мин.)
• 9.2. Достаточные условия существования преобразования Лапласа. Функция экспоненциального роста (59мин.)
• 9.3. Кусочно-непрерывные функции (59мин.)
• 9.4. Основные свойства преобразования Лапласа. Теоремы запаздывания, подобия, смещения (40мин.)
• 9.5. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения (139мин.)
• 9.6. Преобразование Лапласа периодической функции (79мин.)
• 9.7. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа (139мин.)
• • 9.7.1. Применение интеграла Дюамеля к решению дифференциальных уравнений (40мин.)
  • 9.7.2. Решение ДУ nго порядка с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля (20мин.)
  • 9.7.3. Понятие обобщенного решения дифференциального уравнения (59мин.)
• 9.8. Функция Хевисайда (139мин.)
• • 9.8.1. Решение дифференциальных уравнений с разрывной правой частью с помощью функции Хевисайда (20мин.)
  • 9.8.2. Применение функции Хевисайда при преобразовании Лапласа периодической функции (40мин.)
• 9.9. Функция Дирака и ее свойства (159мин.)
• • 9.9.1. Определение функции Дирака (40мин.)
  • 9.9.2. Свойства функции Дирака (119мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (40мин.)
• Тест:  Преобразование Лапласа (42мин.)

Глава 10. Начальные сведения о численных методах решения дифференциальных уравнений

• 10.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов (99мин.)
• 10.2. Метод последовательных приближений (40мин.)
• 10.3. Метод изоклин для приближенного построения интегральных кривых (40мин.)
• 10.4. Методы Эйлера и Рунге — Кутты (79мин.)
• 10.5. Метод Адамса (20мин.)
• 10.6. Применение метода прогонки в двухточечной краевой задаче. Метод конечных разностей (40мин.)
• Задачи для самостоятельного решения (20мин.)
• Тест:  Начальные сведения о численных методах решения дифференциальных уравнений (14мин.)

Глава 11. Примеры приложения дифференциальных уравнений к решению различных задач естествознания

• 11.1. Некоторые задачи механики (динамика точки) (99мин.)
• 11.2. Движение заряженной частицы в магнитном поле (119мин.)
• 11.3. Натуральные уравнения кривой (20мин.)
• 11.4. Инвариантные множества автономных систем (59мин.)
• 11.5. Задача из экологии: модель «хищник — жертва» (40мин.)
• 11.6. Пример гидравлической автоколебательной системы: чаша Тантала (59мин.)
• 11.7. О распределении с высотой давления и температуры в атмосфере (99мин.)
• 11.8. Задачи химической кинетики (59мин.)
• 11.9. Механические и электрические колебания (119мин.)
• • 11.9.1. Превращения энергии в колебательном контуре (20мин.)
  • 11.9.2. Механические колебания. Математический маятник (79мин.)
• Тест:  Примеры приложения дифференциальных уравнений к решению различных задач естествознания (22мин.)

Литература

Предметный указатель

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (40мин.)