Предисловие ко второму изданию

Тема 1. Определенный интеграл Римана

• 1.1. Историческая справка (59мин.)
• 1.2. Определение интеграла Римана (178мин.)
• • 1.2.1. Интегральные суммы и интеграл Римана (40мин.)
  • 1.2.2. Вычисление определенных интегралов по определению, т. е. переходом к пределу интегральных сумм (20мин.)
  • 1.2.3. Геометрический смысл определенного интеграла (20мин.)
  • 1.2.4. Суммы и интегралы Дарбу (59мин.)
  • 1.2.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости (40мин.)
• 1.3. Основные классы интегрируемых функций (99мин.)
• • 1.3.1. Функции, непрерывные на отрезке (20мин.)
  • 1.3.2. Ограниченные на отрезке функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Жордану (40мин.)
  • 1.3.3. Ограниченные на отрезке функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Лебегу (20мин.)
  • 1.3.4. Функции, монотонные на отрезке (20мин.)
  • 1.3.5. Интегрирование сложных функций (40мин.)
• 1.4. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами (59мин.)
• 1.5. Интегралы с переменным верхним (нижним) пределом. Формула Ньютона - Лейбница (99мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (178мин.)
• Тест:  Определенный интеграл Римана (40мин.)

Тема 2. Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем, интегральные неравенства

• 2.1. Свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами (59мин.)
• 2.2. Интегральные теоремы о среднем (119мин.)
• • 2.2.1. Первая теорема о среднем. Среднее значение функции (79мин.)
  • 2.2.2. Вторая теорема о среднем (40мин.)
• 2.3. Некоторые известные интегральные неравенства (138мин.)
• • 2.3.1. Неравенство Коши - Буняковского (40мин.)
  • 2.3.2. Неравенство Коши (20мин.)
  • 2.3.3. Неравенство Гёльдера (20мин.)
  • 2.3.4. Неравенство Минковского (20мин.)
  • 2.3.5. Неравенства для выпуклых функций (59мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (99мин.)
• Тест:  Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем, интегральные неравенства (16мин.)

Тема 3. Основные методы вычисления определенных интегралов

• 3.1. Интегрирование путем сведения к табличным (известным) интегралам с помощью различных преобразований (138мин.)
• 3.2. Интегрирование путем замены переменной (138мин.)
• 3.3. Интегрирование по частям (99мин.)
• 3.4. Другие способы вычисления определенных интегралов (20мин.)
• 3.5. Интегрирование специальных классов функций (99мин.)
• • 3.5.1. Интегрирование периодических функций (40мин.)
  • 3.5.2. Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр) симметрии в середине промежутка интегрирования (20мин.)
  • 3.5.3. Интегрирование взаимно обратных функций (20мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (178мин.)
• Тест:  Основные методы вычисления определенных интегралов (22мин.)

Тема 4. Несобственные интегралы

• 4.1. Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го рода и связь между ними. Сходимость (расходимость) интеграла (99мин.)
• • 4.1.1. Несобственный интеграл 1-го рода (40мин.)
  • 4.1.2. Несобственный интеграл 2-го рода (59мин.)
• 4.2. Понятие среднего значения функции на неограниченном промежутке. Сходимость интеграла в смысле главного значения (по Коши) (99мин.)
• • 4.2.1. Среднее значение функции, интегрируемой на неограниченном промежутке (20мин.)
  • 4.2.2. Сходимость несобственного интеграла в смысле главного значения (по Коши) (79мин.)
  • 4.2.3. Среднее значение несобственного интеграла (20мин.)
• 4.3. Критерий Коши сходимости (расходимости) несобственного интеграла (40мин.)
• 4.4. Свойства несобственного интеграла (99мин.)
• 4.5. Теоремы о среднем (40мин.)
• 4.6. Вычисление несобственных интегралов (79мин.)
• • 4.6.1. Формула Ньютона - Лейбница (20мин.)
  • 4.6.2. Формула замены переменной (20мин.)
  • 4.6.3. Формула интегрирования по частям (40мин.)
• 4.7. Исследование сходимости несобственных интегралов (415мин.)
• • 4.7.1. Признак сходимости интегралов от неотрицательных функций. Теорема сравнения (40мин.)
  • 4.7.2. Первый признак сравнения (признак абсолютной сходимости) (20мин.)
  • 4.7.3. Второй признак сравнения (59мин.)
  • 4.7.4. Третий признак сравнения (признак сравнения со степенью) (59мин.)
  • 4.7.5. Признак Дирихле (40мин.)
  • 4.7.6. Признак Абеля (20мин.)
  • 4.7.7. Признак Коши (20мин.)
  • 4.7.8. Использование формулы Тейлора при исследовании сходимости интеграла (40мин.)
  • 4.7.9. Исследование на абсолютную (условную) сходимость (99мин.)
• 4.8. Другие виды задач, связанных с несобственными интегралами (40мин.)
• 4.9. Некоторые известные несобственные интегралы (20мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (79мин.)
• Тест:  Несобственные интегралы (44мин.)

Тема 5. Вычисление площади плоской фигуры

• 5.1. Плоская фигура и связанные с ней понятия (20мин.)
• 5.2. Квадрируемая фигура и ее площадь (20мин.)
• 5.3. Необходимые и достаточные условия квадрируемости. Классы квадрируемых фигур (79мин.)
• 5.4. Площадь в декартовых координатах (316мин.)
• • 5.4.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно (158мин.)
  • 5.4.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически (99мин.)
  • 5.4.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F(x, y) = 0 (59мин.)
• 5.5. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах (198мин.)
• • 5.5.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно (119мин.)
  • 5.5.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически уравнениями r = r(t), j = j(t) (20мин.)
  • 5.5.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F(r, j) = 0 (40мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (59мин.)
• Тест:  Вычисление площади плоской фигуры (16мин.)

Тема 6. Вычисление длины дуги кривой

• 6.1. Кривая на плоскости и связанные с ней понятия (59мин.)
• 6.2. Спрямляемая кривая и длина ее дуги (59мин.)
• 6.3. Основные классы спрямляемых кривых. Вычисление длины дуги (356мин.)
• • 6.3.1. Случай параметрического задания кривой в декартовых координатах (178мин.)
  • 6.3.2. Случай явного задания кривой в декартовых координатах (59мин.)
  • 6.3.3. Случай неявного задания кривой в декартовых координатах (20мин.)
  • 6.3.4. Случай явного задания кривой в полярных координатах (59мин.)
  • 6.3.5. Случай параметрического задания кривой в полярных координатах (20мин.)
  • 6.3.6. Случай неявного задания кривой в полярных координатах (20мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (59мин.)
• Тест:  Вычисление длины дуги кривой (22мин.)

Тема 7. Вычисление объемов тел

• 7.1. Пространственное тело и связанные с ним понятия (59мин.)
• 7.2. Понятие кубируемого тела. Объем тела (40мин.)
• 7.3. Необходимые и достаточные условия кубируемости. Классы кубируемых тел (40мин.)
• 7.4. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений (99мин.)
• 7.5. Объем тела вращения в декартовых координатах (356мин.)
• • 7.5.1. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси Ox и вращается вокруг нее (217мин.)
  • 7.5.2. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси Ox и вращается вокруг оси Oy (99мин.)
  • 7.5.3. Вращение вокруг оси, не совпадающей ни с одной из координатных осей (40мин.)
• 7.6. Объем тела вращения в полярных координатах (158мин.)
• • 7.6.1. Переход от полярных координат к прямоугольным координатам (20мин.)
  • 7.6.2. Вычисление объема непосредственно в полярных координатах (40мин.)
  • 7.6.3. Случай вращения вокруг луча j = π/2 (20мин.)
  • 7.6.4. Переход от прямоугольных координат к полярным координатам (20мин.)
  • 7.6.5. Случай вращения вокруг произвольной прямой (59мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (79мин.)
• Тест:  Вычисление объемов тел (28мин.)

Тема 8. Вычисление площадей поверхностей вращения

• 8.1. Понятие кривой поверхности и способы ее задания. Гладкая поверхность. Одно- и двусторонние поверхности (79мин.)
• 8.2. Алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков (20мин.)
• 8.3. Квадрируемость кривой поверхности и ее площадь (20мин.)
• 8.4. Поверхность вращения и ее площадь (40мин.)
• 8.5. Площадь поверхности вращения в декартовых координатах (257мин.)
• • 8.5.1. Вращение вокруг оси Ox (138мин.)
  • 8.5.2. Вращение вокруг оси Oy (40мин.)
  • 8.5.3. Вращение вокруг произвольной оси (79мин.)
• 8.6. Площадь поверхности вращения в полярных координатах (99мин.)
• • 8.6.1. Вращение вокруг полярной оси (20мин.)
  • 8.6.2. Вращение вокруг прямой, перпендикулярной полярной оси (20мин.)
  • 8.6.3. Вращение вокруг произвольной оси (59мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (40мин.)
• Тест:  Вычисление площадей поверхностей вращения (24мин.)

Тема 9. Физические приложения определенного интеграла

• 9.1. Масса плоской кривой (20мин.)
• 9.2. Статические моменты, моменты инерции и центры тяжести плоских кривых и фигур (217мин.)
• • 9.2.1. Случай плоской кривой (99мин.)
  • 9.2.2. Случай плоской фигуры (119мин.)
• 9.3. Вычисление пути, работы переменной силы и другие примеры простейших физических задач (79мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (59мин.)
• Тест:  Физические приложения определенного интеграла (12мин.)

Тема 10. Мера и интеграл Лебега

• 10.1. История вопроса (20мин.)
• 10.2. Используемые понятия (59мин.)
• • 10.2.1. Эквивалентные множества. Операции над множествами (20мин.)
  • 10.2.2. Счетные и несчетные множества (40мин.)
  • 10.2.3. Открытые и замкнутые множества (20мин.)
  • 10.2.4. Числовой ряд и его сумма. Сходимость ряда (20мин.)
• 10.3. Мера множества (40мин.)
• 10.4. Измеримые функции (40мин.)
• 10.5. Интеграл Лебега (99мин.)
• • 10.5.1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции (20мин.)
  • 10.5.2. Связь между интегралами Римана и Лебега. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций (20мин.)
  • 10.5.3. Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм (20мин.)
  • 10.5.4. Свойства интеграла Лебега (59мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (20мин.)
• Тест:  Мера и интеграл Лебега (18мин.)

Тема 11. Интеграл Стилтьеса

• 11.1. Понятие об интеграле Стилтьеса как линейном функцио-нале на пространстве непрерывных функций (20мин.)
• 11.2. Функции ограниченной вариации и их свойства. Определение интеграла Стилтьеса (59мин.)
• 11.3. Условия существования интеграла Стилтьеса (40мин.)
• 11.4. Свойства интеграла Стилтьеса (79мин.)
• Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения (40мин.)
• Тест:  Интеграл Стилтьеса (12мин.)

Ответы и решения

• Тема 1 (494мин.)
• Тема 2 (178мин.)
• Тема 3 (475мин.)
• Тема 4 (494мин.)
• Тема 5 (20мин.)
• Тема 6 (20мин.)
• Тема 7 (99мин.)
• Тема 8 (20мин.)
• Тема 9 (20мин.)
• Тема 10 (20мин.)
• Тема 11 (59мин.)

Литература

Приложение

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (40мин.)