Обозначения

Предисловие

Глава 1. Введение в оптимизацию. Классический метод

• 1.1. Постановка задачи (121мин.)
• • 1.1.1. Задача минимизации (86мин.)
  • 1.1.2. Задача максимизации (34мин.)
  • Оптимизация в примерах задач на смешивание (57мин.)
• 1.2. Теоремы Вейерштрасса (172мин.)
• • 1.2.1. Классическая теорема (52мин.)
  • 1.2.2. Обобщенная теорема Вейерштрасса (86мин.)
  • 1.2.3. Теорема Вейерштрасса для некомпактных множеств (34мин.)
• 1.3. Задачи безусловной оптимизации. Классический метод (138мин.)
• • 1.3.1. Описание метода (103мин.)
  • 1.3.2. Примеры (34мин.)
• 1.4. Задачи на условный экстремум. Правило множителей Лагранжа (362мин.)
• • 1.4.1. Постановка задачи. Необходимое условие оптимальности на выпуклом множестве (52мин.)
  • 1.4.2. Правило множителей Лагранжа в задачах с ограничениями типа равенств (34мин.)
  • 1.4.3. Правило множителей Лагранжа в общем случае (34мин.)
  • 1.4.4. Достаточные условия оптимальности (52мин.)
  • 1.4.5. Примеры (172мин.)
  • 1.4.6. Экономический смысл множителей Лагранжа (17мин.)
• 1.5. Метод штрафных функций (155мин.)
• • 1.5.1. Описание метода (52мин.)
  • 1.5.2. Сходимость метода (86мин.)
  • 1.5.3. Недостатки и достоинства метода (17мин.)
• 1.6. Обоснование правила множителей Лагранжа (52мин.)
• 1.7. Вспомогательные предложения (52мин.)
• • 1.7.1. Формулы конечных приращений (34мин.)
  • 1.7.2. Леммы о числовых последовательностях (17мин.)
• Упражнения (86мин.)
• Тест:  Введение в оптимизацию. Классический метод (74мин.)

Глава 2. Линейное программирование

• 2.1. Постановка задачи (103мин.)
• • 2.1.1. Общая задача линейного программирования (34мин.)
  • 2.1.2. Примеры (34мин.)
  • 2.1.3. Каноническая задача (17мин.)
  • 2.1.4. Основная задача (17мин.)
• 2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования (69мин.)
• 2.3. Угловые точки в канонической задаче (52мин.)
• • Примеры определения ранга матрицы (4мин.)
  • Вычисление ранга матрицы (8мин.)
• 2.4. Симплекс-метод (310мин.)
• • 2.4.1. Приведенная задача (52мин.)
  • 2.4.2. Описание симплекс-метода (172мин.)
  • 2.4.3. Примеры (34мин.)
  • 2.4.4. Конечность метода в невырожденной задаче (52мин.)
• 2.5.* Антициклин (172мин.)
• • 2.5.1. Пример (34мин.)
  • 2.5.2. Лексикографическое упорядочение векторов (34мин.)
  • 2.5.3. Лексикографический антициклин (86мин.)
  • 2.5.4. Симплекс-метод в канонической задаче максимизации (17мин.)
• 2.6. Поиск начальной угловой точки (69мин.)
• 2.7. Теорема Вейерштрасса в линейном программировании (17мин.)
• 2.8. Теоремы двойственности (172мин.)
• • Операции над базисами (10мин.)
  • Примеры операций над базисами (8мин.)
• Упражнения (52мин.)
• Тест:  Линейное программирование (62мин.)

Глава 3. Элементы выпуклого анализа

• 3.1. Выпуклые функции (190мин.)
• • 3.1.1. Понятие выпуклой функции (52мин.)
  • 3.1.2. Критерии выпуклости (52мин.)
  • 3.1.3. Свойства точек минимума выпуклых функций (34мин.)
  • 3.1.4. Другие свойства выпуклых функций (52мин.)
• 3.2. Сильно выпуклые функции (103мин.)
• • 3.2.1. Понятие сильно выпуклой функции (34мин.)
  • 3.2.2. Критерии сильной выпуклости (69мин.)
• 3.3. Метрическая проекция (121мин.)
• 3.4. Теорема Куна — Таккера (121мин.)
• 3.5. Теорема Куна — Таккера для многогранного множества (52мин.)
• 3.6.* Двойственные задачи. Примеры (155мин.)
• Упражнения (52мин.)
• Тест:  Элементы выпуклого анализа (48мин.)

Глава 4. Методы минимизации функций

• 4.1. Методы минимизации функций одной переменной (207мин.)
• • 4.1.1. Метод деления отрезка пополам (17мин.)
  • 4.1.2. Метод золотого сечения (34мин.)
  • 4.1.3. Метод ломаных (69мин.)
  • 4.1.4. Метод покрытия (69мин.)
  • 4.1.5. Метод касательных (17мин.)
• 4.2. Градиентный метод (172мин.)
• • 4.2.1. Описание процесса. Выбор шага, проблемы старта и остановки (69мин.)
  • 4.2.2. Сходимость метода скорейшего спуска для сильно выпуклых функций (52мин.)
  • 4.2.3. Траектория процесса. Непрерывный аналог градиентного метода (52мин.)
• 4.3. Метод проекции градиента (52мин.)
• • 4.3.1. Описание процесса. Варианты выбора шага (17мин.)
  • 4.3.2. Сходимость метода для сильно выпуклых функций (34мин.)
• 4.4. Метод условного градиента (86мин.)
• • 4.4.1. Идея линейной аппроксимации и варианты ее реализации (52мин.)
  • 4.4.2. Сходимость метода (34мин.)
• 4.5. Метод Ньютона (121мин.)
• • 4.5.1. Описание процесса. Варианты выбора шага (17мин.)
  • 4.5.2. Сходимость классического метода Ньютона для сильно выпуклых функций (52мин.)
  • 4.5.3. Сходимость метода Ньютона с переменным шагом для сильно выпуклых функций (52мин.)
• 4.6.* Метод переменной метрики (172мин.)
• • 4.6.1. Описание процесса. G-проекция (69мин.)
  • 4.6.2. Сходимость метода переменной метрики для выпуклых функций (52мин.)
  • 4.6.3. Непрерывный вариант метода переменной метрики (52мин.)
• 4.7.* Квазиньютоновские методы (207мин.)
• 4.8. Метод покоординатного спуска (69мин.)
• • 4.8.1. Основная версия метода для задач без ограничений (34мин.)
  • 4.8.2. Другие варианты метода покоординатного спуска (34мин.)
• 4.9. Метод покрытия для функции многих переменных (52мин.)
• 4.10.* Метод модифицированных функций Лагранжа (121мин.)
• 4.11.* Экстраградиентный метод (86мин.)
• • 4.11.1. Описание процесса (17мин.)
  • 4.11.2. Сходимость экстраградиентного метода (69мин.)
• Упражнения (34мин.)
• Тест:  Методы минимизации функций (64мин.)

Глава 5. Принцип максимума Понтрягина

• 5.1. Постановка задачи оптимального управления (190мин.)
• • 5.1.1. Примеры постановок задач оптимального управления (52мин.)
  • 5.1.2. Допустимые управления (17мин.)
  • 5.1.3. Задача Коши (69мин.)
  • 5.1.4. Постановка задачи (52мин.)
• 5.2. Принцип максимума в задаче оптимального управления со свободным правым концом (172мин.)
• • 5.2.1. Формулировка принципа максимума (17мин.)
  • 5.2.2. Краевая задача принципа максимума (86мин.)
  • 5.2.3. Доказательство принципа максимума Понтрягина (69мин.)
• 5.3.* Принцип максимума (общий случай) (103мин.)
• • 5.3.1. Формулировка принципа максимума в общем случае (34мин.)
  • 5.3.2. Краевая задача принципа максимума в общем случае (34мин.)
  • 5.3.3. Общие граничные условия (34мин.)
• 5.4.* Примеры (207мин.)
• 5.5.* Принцип максимума и классическое вариационное исчисление (69мин.)
• Упражнения (69мин.)
• Тест:  Принцип максимума Понтрягина (32мин.)

Глава 6. Динамическое программирование

• 6.1. Принцип оптимальности (34мин.)
• • Определение вероятности в постановках задач оптимизации (7мин.)
  • Примеры определения вероятности для произвольных задач оптимизации (2мин.)
• 6.2. Схема Беллмана (207мин.)
• • 6.2.1. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления (17мин.)
  • 6.2.2. Уравнение Беллмана (52мин.)
  • 6.2.3. Вычислительная схема (34мин.)
  • 6.2.4. Синтезирующая функция (17мин.)
  • 6.2.5. Оценка погрешности (34мин.)
  • 6.2.6. Построение минимизирующих последовательностей (17мин.)
  • 6.2.7. Приложение к задачам конечномерной оптимизации (17мин.)
  • 6.2.8. Замечания к схеме Беллмана (17мин.)
• 6.3.* Проблема синтеза для систем с непрерывным временем (207мин.)
• • 6.3.1. Задача Коши — Беллмана (52мин.)
  • 6.3.2. Примеры (52мин.)
  • 6.3.3. Приближенный метод (52мин.)
  • 6.3.4. Оценка погрешности (34мин.)
• 6.4.* Контрпримеры (52мин.)
• 6.5.* Применение метода динамического программирования к задачам дискретной оптимизации (69мин.)
• Упражнения (52мин.)
• Тест:  Динамическое программирование (26мин.)

Практикум

Литература

Ответы к упражнениям

Предметный указатель

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (66мин.)