Введение

Тема 1. Понятие динамической системы. Связь с математическим моделированием

• 1.1. О понятии динамической системы (52мин.)
• 1.2. Понятия состояния и закона эволюции динамической системы (26мин.)
• 1.3. Элементы качественного анализа динамических систем (183мин.)
• • 1.3.1. Базовые понятия (131мин.)
  • 1.3.2. О качественном анализе решения (52мин.)
• 1.4. Примеры динамических систем. Модели динамики численности популяций (209мин.)
• • 1.4.1. Линейная модель. Модель Мальтуса (52мин.)
  • 1.4.2. Простейшая нелинейная модель. Разнополая популяция в условиях неограниченных ресурсов (26мин.)
  • 1.4.3. Модель Ферхюльста - Пирла (логистическое уравнение) (52мин.)
  • 1.4.4. Модели, основанные на идее логистического уравнения (26мин.)
• 1.5. Некоторые модели динамики численности населения Земли (105мин.)
• 1.6. О нелинейных моделях (26мин.)
• Литература (52мин.)
• Тест:  Понятие динамической системы (76мин.)

Тема 2. Модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений

• 2.1. Общая постановка задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (26мин.)
• 2.2. Численное решение задачи Коши. Основные понятия (157мин.)
• • 2.2.1. Дискретизация области (26мин.)
  • 2.2.2. Об аппроксимации дифференциального оператора (26мин.)
  • 2.2.3. Разностная схема (79мин.)
• 2.3. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (183мин.)
• • 2.3.1. Основные понятия (26мин.)
  • 2.3.2. Явные методы семейств Рунге - Кутты и Адамса (52мин.)
  • 2.3.3. Методы типа "предиктор -корректор" (79мин.)
  • 2.3.4. Чисто неявные методы Гира (26мин.)
• 2.4. Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (262мин.)
• • 2.4.1. Понятие жесткости системы обыкновенных дифференциальных уравнений (105мин.)
  • 2.4.2. Об устойчивости разностных схем. Обобщение на системы обыкновенных дифференциальных уравнений (26мин.)
  • 2.4.3. Явные и неявные методы Рунге - Кутты (26мин.)
  • 2.4.4. Идеи методов Розенброка и (m, k)-методов (26мин.)
  • 2.4.5. Методы с контролем точности и устойчивости (79мин.)
• 2.5. Технология проведения методических расчетов (340мин.)
• • 2.5.1. Общая постановка задачи (52мин.)
  • 2.5.2. О выборе численного метода (52мин.)
  • 2.5.3. Практические рекомендации к методическим расчетам (52мин.)
  • 2.5.4. Методические расчеты (157мин.)
• 2.6. Примеры тестовых задач (105мин.)
• • 2.6.1. Тестовая задача 1. Численное решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения (26мин.)
  • 2.6.2. Тестовая задача 2. Численное решение задачи Коши для жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (26мин.)
  • 2.6.3. Тестовая задача 3. Движение заряженной частицы в постоянном магнитном поле (52мин.)
• 2.7. Примеры практических заданий (681мин.)
• • 2.7.1. Решение нелинейной задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Задача о колебании физического маятника (52мин.)
  • 2.7.2. Модель линейного осциллятора (26мин.)
  • 2.7.3. Задача о движении жидкости при ее нагреве снизу. Система Лоренца (52мин.)
  • 2.7.4. Изменчивость состояний магнитного поля Земли: 4D-модель динамо Рикитаке (52мин.)
  • 2.7.5. Изменчивость состояний магнитного поля Земли: 3D-модель Рикитаке (26мин.)
  • 2.7.6. Модель функционирования средней фирмы (26мин.)
  • 2.7.7. Модель развития социального процесса. "Бибер-лихорадка" (79мин.)
  • 2.7.8. Модель распространения "K-pop-лихорадки" (52мин.)
  • 2.7.9. Модели динамики численности популяций под влиянием генетического фактора (экогенетические модели) (26мин.)
  • 2.7.10. Модель эволюции простейшей экосистемы (26мин.)
  • 2.7.11. Модель гиперпролиферации клеток кожи человека (52мин.)
  • 2.7.12. Модель продольного возмущенного движения самолета (26мин.)
  • 2.7.13. Модель суточного колебания концентрации озона в атмосфере (26мин.)
  • 2.7.14. Модель химической реакции Белоусова - Жаботинского (52мин.)
  • 2.7.15*. Модель сообщества "производители - продукт - управленцы" (105мин.)
• Литература (52мин.)
• Тест:  Модели на основе ОДУ (48мин.)

Тема 3. Модели на основе дифференциальных уравнений с запаздыванием

• 3.1. Общая постановка основной начальной задачи (26мин.)
• 3.2. Численное решение основной начальной задачи (79мин.)
• • 3.2.1. Метод последовательного интегрирования (метод шагов) (52мин.)
  • 3.2.2. Численное решение уравнений с запаздыванием (26мин.)
• 3.3. Примеры тестовых задач (26мин.)
• 3.4. Примеры практических заданий. Математические модели функционирования белковой системы, управляющей реакцией клетки на повреждение ДНК (209мин.)
• • 3.4.1. Первая модель (26мин.)
  • 3.4.2. Вторая модель (26мин.)
  • 3.4.3. Третья модель (52мин.)
  • 3.4.4*. Четвертая модель (26мин.)
  • 3.4.5. Пятая модель (26мин.)
• Литература (52мин.)
• Тест:  Модели на основе дифференциальных уравнений с запаздыванием (18мин.)

Тема 4. Предельный переход от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям с запаздыванием: технология вычислительного эксперимента

• 4.1. Теоретическое обоснование (26мин.)
• 4.2. Примеры реализации вычислительной схемы перехода (131мин.)
• • 4.2.1. Задача с одним уравнением с запаздыванием (52мин.)
  • 4.2.2. Задача для нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием (79мин.)
• 4.3. Примеры практических заданий (26мин.)
• Литература (52мин.)
• Тест:  Предельный переход от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям с запаздыванием: технология вычислительного эксперимента (16мин.)

Тема 5. Вычислительный эксперимент как инструмент изучения сложных объектов и систем

• 5.1. Общие идеи математического моделирования (131мин.)
• • 5.1.1. О понятии объекта и его модели (52мин.)
  • 5.1.2. Свойства математических моделей (79мин.)
• 5.2. Что такое вычислительный эксперимент? (105мин.)
• • 5.2.1. Технологическая цепочка вычислительного эксперимента (105мин.)
• Литература (52мин.)
• Тест:  Вычислительный эксперимент как инструмент изучения сложных объектов и систем (42мин.)

Приложение. Математическое моделирование функционирования одной биологической системы

• Введение (52мин.)
• 1. Математическая постановка задачи (52мин.)
• 2. Численный алгоритм решения начальной задачи (26мин.)
• 3. Методические расчеты (105мин.)
• • 3.1. Тестовые расчеты. Выбор метода решения задачи (26мин.)
  • 3.2. Численное решение при базальных значениях параметров. Оценка роли параметра запаздывания (79мин.)
  • 3.3. Численное решение при базальных значениях параметров. Оценка влияния начальных условий (26мин.)
• 4. Описание экспериментальных данных (26мин.)
• 5. Численный анализ качественных свойств решений. Исследование зависимости решения от параметров (209мин.)
• 6. О связи с многостадийной моделью в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (183мин.)
• Выводы (26мин.)
• Литература (79мин.)

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (70мин.)