Предисловие

Введение

Тема 1. Моделирование случайных величин

• 1.1. Генераторы стандартных случайных чисел (247мин.)
• • 1.1.1. Основные свойства стандартного случайного числа (62мин.)
  • 1.1.2. Два типа генераторов стандартных случайных чисел (21мин.)
  • 1.1.3. Свойства преобразования β = {Mα} (62мин.)
  • 1.1.4. Свойства мультипликативного метода вычетов (21мин.)
  • 1.1.5. Тестирование и модификация генераторов случайных и псевдослучайных чисел (62мин.)
  • 1.1.6. Использование датчиков псевдослучайных чисел в параллельных вычислениях (21мин.)
• 1.2. Моделирование дискретного распределения (стандартный алгоритм) (103мин.)
• • 1.2.1. Стандартный алгоритм (21мин.)
  • 1.2.2. Трудоемкость стандартного алгоритма (21мин.)
  • 1.2.3. Случаи малого и бесконечного числа значений. Примеры (62мин.)
• 1.3. Специальные алгоритмы моделирования дискретного распределения (165мин.)
• • 1.3.1. Моделирование равномерного дискретного распределения (21мин.)
  • 1.3.2. Приведение вероятностей к общему знаменателю (21мин.)
  • 1.3.3. Перераспределение вероятностей (метод Уолкера) (21мин.)
  • 1.3.4. Квантильный метод (21мин.)
  • 1.3.5. Бинарный поиск. Метод "мажорантной частоты" (21мин.)
  • 1.3.6. Специальные методы моделирования геометрического распределения (21мин.)
  • 1.3.7. Специальные методы моделирования биномиального распределения (21мин.)
  • 1.3.8. Специальные методы моделирования распределения Пуассона (21мин.)
• 1.4. Стандартный алгоритм моделирования непрерывной случайной величины (185мин.)
• • 1.4.1. Метод обратной функции распределения. Примеры (82мин.)
  • 1.4.2. Обобщение метода обратной функции распределения (21мин.)
  • 1.4.3. Составные плотности (41мин.)
  • 1.4.4. Теорема о замене случайных переменных. Конструирование плотностей элементарных распределений (41мин.)
• 1.5. Стандартный алгоритм моделирования случайного вектора (123мин.)
• • 1.5.1. Представление плотности распределения случайного вектора в виде произведения условных плотностей (41мин.)
  • 1.5.2. Стандартный алгоритм (21мин.)
  • 1.5.3. Случай независимых компонент. Векторы с марковским свойством (21мин.)
  • 1.5.4. Моделирование случайного вектора с заданными одномерным распределением и корреляционной матрицей (метод повторения) (41мин.)
• 1.6. Метод суперпозиции (123мин.)
• • 1.6.1. Метод интегральной суперпозиции (41мин.)
  • 1.6.2. Метод дискретной суперпозиции (21мин.)
  • 1.6.3. Модифицированный метод суперпозиции (41мин.)
  • 1.6.4. Метод суперпозиции для составных плотностей (21мин.)
• 1.7. Методы исключения (123мин.)
• • 1.7.1. Общие принципы построения и трудоемкость методов исключения (21мин.)
  • 1.7.2. Мажорантный метод исключения (62мин.)
  • 1.7.3. Специальные методы построения мажорант (41мин.)
  • 1.7.4. Двусторонний метод исключения (21мин.)
  • 1.7.5. Моделирование усеченных распределений (21мин.)
• 1.8. Моделирование полиномиальных и кусочно-полиномиальных плотностей (185мин.)
• • 1.8.1. Моделирование кусочно-постоянной и кусочно-линейной плотностей (82мин.)
  • 1.8.2. Использование кусочно-постоянных плотностей распределения для обоснования алгоритмов моделирования дискретных целочисленных случайных величин (21мин.)
  • 1.8.3. Основные методы моделирования полиномиальных плотностей (21мин.)
  • 1.8.4. Использование порядковых статистик (41мин.)
  • 1.8.5. Моделирование распределений с плотностями, являющимися В-сплайнами (21мин.)
• 1.9. Моделирование гамма- и бета-распределений (185мин.)
• • 1.9.1. Основные алгоритмы моделирования гамма-распределения (41мин.)
  • 1.9.2. Моделирование одного специального класса распределений (41мин.)
  • 1.9.3. Моделирование бета-распределения (41мин.)
  • 1.9.4. Методы исключения для моделирования бета-распределения (62мин.)
• 1.10. Моделирование нормального распределения. Моделирование изотропного направления (144мин.)
• • 1.10.1. Реализация пары выборочных значений случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение (41мин.)
  • 1.10.2. Теоремы об изотропном векторе (21мин.)
  • 1.10.3. Моделирование единичного изотропного вектора (41мин.)
  • 1.10.4. Моделирование гауссовского случайного вектора с зависимыми компонентами (41мин.)
• Тест:  Моделирование случайных величин (72мин.)

Тема 2. Моделирование случайных процесов и полей

• 2.1. Общие принципы моделирования траекторий случайных процессов и полей (144мин.)
• • 2.1.1. Выборочное вероятностное пространство случайной функции (41мин.)
  • 2.1.2. Конечномерные распределения случайной функции. Функция математических ожиданий. Корреляционная функция. Гауссовское случайное поле (21мин.)
  • 2.1.3. Основы корреляционной теории стационарных случайных функций (62мин.)
  • 2.1.4. Особенности численного моделирования случайных функций (21мин.)
• 2.2. Адекватность моделей случайных процессов и полей (82мин.)
• • 2.2.1. Воспроизведение одномерных распределений. Метод обратной функции распределения (21мин.)
  • 2.2.2. Воспроизведение корреляционных функций (21мин.)
  • 2.2.3. Воспроизведение многомерных конечномерных распределений. Моделирование гауссовского марковского случайного процесса (41мин.)
• 2.3. Сходимость моделей случайных процессов и полей (123мин.)
• • 2.3.1. Сходимость конечномерных распределений. Сходимость в среднем (21мин.)
  • 2.3.2. Функциональная (слабая) сходимость в Z(T). Достаточные условия функциональной сходимости в С(Т) и D(T) в терминах приращений (41мин.)
  • 2.3.3. Дифференциальные условия функциональной сходимости в С(Т) (21мин.)
  • 2.3.4. Моментные условия функциональной сходимости в С(T) (21мин.)
  • 2.3.5. Непрерывность важнейших функционалов в С(Т) и D(Т) (21мин.)
• 2.4. Модели случайных функций с дискретным временем (165мин.)
• • 2.4.1. Дискретизация и восполнение случайных функций с непрерывным временем. Метод условных математических ожиданий (21мин.)
  • 2.4.2. Моделирование процесса с независимыми приращениями (41мин.)
  • 2.4.3. Моделирование и использование диффузионного процесса (21мин.)
  • 2.4.4. Использование цепей Маркова. Блуждание по решетке. Ветвящиеся процессы (41мин.)
  • 2.4.5. Процесс скользящего среднего (21мин.)
  • 2.4.6. Процесс авторегрессии (21мин.)
  • 2.4.7. Смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего (21мин.)
• 2.5. Модели гауссовских случайных процессов с непрерывным временем (62мин.)
• • 2.5.1. Моделирование гауссовского процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью (41мин.)
  • 2.5.2. Алгоритм Франклина (21мин.)
  • 2.5.3. Моделирование гауссовского случайного процесса с использованием канонического разложения (21мин.)
• 2.6. Приближенные спектральные модели однородных гауссовских случайных полей (165мин.)
• • 2.6.1. Рандомизированная модель с разбиением спектра (62мин.)
  • 2.6.2. Обобщение модели с разбиением спектра. Негауссовские спектральные модели (21мин.)
  • 2.6.3. Скорость сходимости в среднеквадратическом (21мин.)
  • 2.6.4. Сходимость конечномерных распределений (41мин.)
  • 2.6.5. Функциональная сходимость: моментные условия (21мин.)
  • 2.6.6. Рандомизированная модель без разбиения спектра (21мин.)
  • 2.6.7. Некоторые приложения спектральных моделей случайных полей (21мин.)
• 2.7. Модели случайных процессов и полей, связанных с точечными потоками Пальма (185мин.)
• • 2.7.1. Простейшая одномерная модель (21мин.)
  • 2.7.2. Модификации простейшей модели (41мин.)
  • 2.7.3. Модели случайных полей (21мин.)
  • 2.7.4. Функциональная сходимость: одномерный случай (41мин.)
  • 2.7.5. Функциональная сходимость: многомерный случай (21мин.)
  • 2.7.6. Свойства предельных распределений. Моделирование векторных полей (41мин.)
• Тест:  Моделирование случайных процесов и полей (36мин.)

Тема 3. Численное интегрирование

• 3.1. Стандартный метод Монте-Карло (62мин.)
• • 3.1.1. Стандартный алгоритм (21мин.)
  • 3.1.2. Погрешность стандартного алгоритма (21мин.)
  • 3.1.3. Трудоемкость метода Монте-Карло (21мин.)
• 3.2. Выборка по важности (144мин.)
• • 3.2.1. Теорема о минимуме дисперсии (21мин.)
  • 3.2.2. Выборка по важности и ее погрешность (41мин.)
  • 3.2.3. Включение особенности в плотность (21мин.)
  • 3.2.4. Построение плотности f(х) как приближения функции |g(х)| (21мин.)
  • 3.2.5. Использование существенной выборки (41мин.)
• 3.3. Выборка по важности по части переменных (41мин.)
• • 3.3.1. Разбиение переменных на две группы (21мин.)
  • 3.3.2. Выборка по важности по переменной u (21мин.)
• 3.4. Метод математических ожиданий (41мин.)
• • 3.4.1. Понижение порядка интегрирования (21мин.)
  • 3.4.2. Уменьшение дисперсии (21мин.)
  • 3.4.3. О трудоемкости метода математических ожиданий (21мин.)
• 3.5. Метод расщепления (103мин.)
• • 3.5.1. Использование дополнительных выборочных значений случайного вектора η (21мин.)
  • 3.5.2. Выбор параметров однократного расщепления (21мин.)
  • 3.5.3. Выбор параметров многократного расщепления (21мин.)
  • 3.5.4. Расщепление случайных траекторий частиц (41мин.)
• 3.6. Выделение главной части (41мин.)
• • 3.6.1. Введение вспомогательного интеграла (21мин.)
  • 3.6.2. Пример уменьшения дисперсии (21мин.)
  • 3.6.3. Построение функции g0(х) (21мин.)
• 3.7. Интегрирование по части области (62мин.)
• • 3.7.1. Разделение области интегрирования (21мин.)
  • 3.7.2. Уменьшение дисперсии (21мин.)
  • 3.7.3. О применении метода исключения для моделирования усеченного распределения (41мин.)
• 3.8. Метод противоположной переменной (62мин.)
• • 3.8.1. Простая симметризация. Уменьшение трудоемкости (41мин.)
  • 3.8.2. Сложная симметризация (21мин.)
  • 3.8.3. Использование метода противоположной переменной в многомерном случае (21мин.)
• 3.9. Метод расслоенной выборки (185мин.)
• • 3.9.1. Выборка по группам (21мин.)
  • 3.9.2. Минимизация дисперсии метода расслоенной выборки (41мин.)
  • 3.9.3. Примеры удачного и неудачного выбора чисел {nm} (21мин.)
  • 3.9.4. Оценки с оптимальной скоростью сходимости для g(x) C(1, , 1)(A, , A; Q1) (41мин.)
  • 3.9.5. Оценки с оптимальной скоростью сходимости для g(x) C(2, , 2)(A, , A; Q1) (62мин.)
• 3.10. Случайные кубатурные формулы (82мин.)
• • 3.10.1. Основы теории кубатурных формул (21мин.)
  • 3.10.2. Рандомизация кубатурных формул (21мин.)
  • 3.10.3. Интерполяционные кубатурные формулы со случайными узлами (41мин.)
• Тест:  Численное интегрирование (34мин.)

Тема 4. Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло

• 4.1. Интегральные уравнения (21мин.)
• 4.2. Цепи Маркова (41мин.)
• 4.3. Весовые оценки (82мин.)
• • 4.3.1. Основная оценка (41мин.)
  • 4.3.2. Метод сопряженных блужданий и локальная оценка (21мин.)
  • 4.3.3. Прямое моделирование (21мин.)
  • 4.3.4. Оценка по поглощениям (21мин.)
  • 4.3.5. Обобщенные ядра (21мин.)
  • 4.3.6. Решение систем алгебраических уравнений (21мин.)
• 4.4. Дисперсии оценок (62мин.)
• 4.5. Уменьшение дисперсии (103мин.)
• • 4.5.1. Оценки с нулевой дисперсией (62мин.)
  • 4.5.2. Моделирование "по ценности" в задаче об оценке многих функционалов (41мин.)
• 4.6. Рекуррентные представления оценок (144мин.)
• • 4.6.1. Рандомизация интегрального уравнения (82мин.)
  • 4.6.2. Использование ветвящихся цепей (21мин.)
  • 4.6.3. Весовые оценки для нелинейного уравнения (41мин.)
• 4.7. Рандомизация (41мин.)
• • 4.7.1. Метод "двойной рандомизации" (21мин.)
  • 4.7.2. Рандомизация оценки по столкновениям (21мин.)
• 4.8. Векторные оценки (41мин.)
• 4.9. Вычисление параметрических производных (62мин.)
• • 4.9.1. Дифференцирование уравнений и оценок (21мин.)
  • 4.9.2. Итерации резольвенты и оценки собственных чисел (41мин.)
• 4.10. Тестовая задача (41мин.)
• • 4.10.1. Формулы для дисперсии (21мин.)
  • 4.10.2. Частичное ценностное моделирование (21мин.)
• 4.11. Модификация фазового пространства и весовых оценок (103мин.)
• • 4.11.1. Цепи Маркова и интегральные уравнения (41мин.)
  • 4.11.2. Модификации фазового пространства (41мин.)
  • 4.11.3. Оптимизация моделирования по части переменных (21мин.)
• Тест:  Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло (14мин.)

Тема 5. Функциональные оценки

• 5.1. Оценка нескольких интегралов (103мин.)
• • 5.1.1. Выбор оптимальной плотности (метод взвешенной дисперсии) (21мин.)
  • 5.1.2. Минимаксный подход (21мин.)
  • 5.1.3. Общая погрешность при использовании независимых испытаний (62мин.)
• 5.2. Метод зависимых испытаний (123мин.)
• • 5.2.1. Приближение интегралов, зависящих от параметра (21мин.)
  • 5.2.2. Приближение решения интегрального уравнения второго рода (21мин.)
  • 5.2.3. Сходимость метода зависимых испытаний (41мин.)
  • 5.2.4. Выбор оптимальной плотности (континуальный аналог метода взвешенной дисперсии) (21мин.)
  • 5.2.5. Минимаксный подход (21мин.)
• 5.3. Дискретно-стохастические численные методы (185мин.)
• • 5.3.1. Комбинированные численные методы (21мин.)
  • 5.3.2. Смешанные методы моделирования случайных величин (21мин.)
  • 5.3.3. Аппроксимация Стренга - Фикса и ее свойства (41мин.)
  • 5.3.4. Дискретно-стохастические схемы численного интегрирования (21мин.)
  • 5.3.5. Функциональные оценки метода Монте-Карло (21мин.)
  • 5.3.6. Вероятностные подходы к оценке погрешностей дискретно-стохастических методов (21мин.)
  • 5.3.7. Условная оптимизация дискретно-стохастических алгоритмов (21мин.)
  • 5.3.8. Особенности построения дискретно-стохастических алгоритмов глобального решения интегральных уравнений второго рода (41мин.)

Тема 6. Решение задач теории переноса частиц

• 6.1. Вводная информация (41мин.)
• 6.2. Моделирование траектории (103мин.)
• • 6.2.1. Стандартная схема (41мин.)
  • 6.2.2. "Метод максимального сечения" для моделирования длины свободного пробега частицы (21мин.)
  • 6.2.3. Многоскоростные и нестационарные задачи (41мин.)
• 6.3. Весовые модификации (41мин.)
• 6.4. Весовые параметрические оценки (41мин.)
• 6.5. Модификация фазового пространства (41мин.)
• 6.6. Весовая оценка по пробегу (21мин.)
• 6.7. Экспоненциальное преобразование (103мин.)
• • 6.7.1. Одномерный вариант (41мин.)
  • 6.7.2. Исследование дисперсии (41мин.)
  • 6.7.3. Асимптотически оптимальное значение с (21мин.)
  • 6.7.4. Сферический вариант (21мин.)
• 6.8. Сопряженное уравнение переноса. Теорема оптической взаимности (41мин.)
• 6.9. Локальные оценки (62мин.)
• • 6.9.1. Стандартные оценки (41мин.)
  • 6.9.2. Модификации локальных оценок (21мин.)
• 6.10. Оценка временных зависимостей (82мин.)
• • 6.10.1. Основные оценки (62мин.)
  • 6.10.2. Оценка временной константы (21мин.)
• 6.11. Решение некоторых обратных и стохастических задач (82мин.)
• • 6.11.1. Обратные задачи (21мин.)
  • 6.11.2. Стохастические задачи теории переноса излучения (62мин.)
• 6.12. Моделирование поляризации (144мин.)
• • 6.12.1. Система уравнений переноса с поляризацией (41мин.)
  • 6.12.2. Решение систем интегральных уравнений методом Монте-Карло (62мин.)
  • 6.12.3. Критерий конечности дисперсии (41мин.)
• 6.13. Решение задач радиационно-кондуктивного теплопереноса (41мин.)
• 6.14. Приближенное решение нелинейного кинетического уравнения Больцмана (185мин.)
• • 6.14.1. Краткий обзор методов (41мин.)
  • 6.14.2. Уравнение Больцмана и вероятностная модель многочастичной системы в пространственно-однородном случае (82мин.)
  • 6.14.3. Метод Монте-Карло для нелинейного уравнения коагуляции (62мин.)
• Тест:  Решение задач теории переноса частиц (26мин.)

Тема 7. Решение краевых задач для эллиптических уравнений

• 7.1. Весовые оценки, связанные с "блужданием по сферам" (165мин.)
• • 7.1.1. "Блуждание по сферам" (21мин.)
  • 7.1.2. Среднее число переходов (21мин.)
  • 7.1.3. Оценка решения (41мин.)
  • 7.1.4. Дополнительная информация (21мин.)
  • 7.1.5. Случай комплексного параметра (41мин.)
  • 7.1.6. Многомерный случай (21мин.)
• 7.2. Решение многомерной разностной задачи Дирихле (185мин.)
• • 7.2.1. Оценки решения (62мин.)
  • 7.2.2. Оценка дисперсий методов (21мин.)
  • 7.2.3. Оценка решения в целом (103мин.)
• 7.3. Диффузионные процессы и уравнения (41мин.)
• 7.4. Оценка по времени для вычисления линейных функционалов от концентрации траекторий многомерных диффузионных процессов (82мин.)
• 7.5. Вероятностное представление и метод Монте-Карло для решения полиэллиптического уравнения (206мин.)
• • 7.5.1. Исходная информация (21мин.)
  • 7.5.2. Требуемое вероятностное представление (21мин.)
  • 7.5.3. Параметрическое дифференцирование (41мин.)
  • 7.5.4. Алгоритмы "блуждания по сферам" (103мин.)
  • 7.5.5. Вычисление ковариационной функции решения бигармонического уравнения при n = 2 (41мин.)
• 7.6. Использование граничных интегральных уравнений (103мин.)

Список литературы

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (60мин.)