Предисловие

Глава 1. Возникновение ошибок вычислений при выполнении арифметических операций на компьютере

• МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)
• Тест:  Возникновение ошибок вычислений при выполнении арифметических операций на компьютере (10мин.)

Глава 2. Решение уравнения f(x) = 0

• 2.1. Отделение корней (18мин.)
• 2.2. Метод деления отрезка пополам (36мин.)
• 2.3. Вычисление корней с использованием итерационных функций (218мин.)
• • 2.3.1. Одноточечный итерационный процесс (109мин.)
  • 2.3.2. Многоточечный итерационный процесс (36мин.)
  • 2.3.3. Одноточечный итерационный процесс с памятью (18мин.)
• 2.4. Заключительные замечания (36мин.)
• Тест:  Решение уравнения f(x) = 0 (22мин.)

Глава 3. Решение систем линейных уравнений

• 3.1. Необходимые сведения из линейной алгебры (54мин.)
• 3.2. Системы линейных уравнений (18мин.)
• 3.3. Типы матриц, часто встречающиеся при решении задач (36мин.)
• 3.4. Источники ошибок (18мин.)
• 3.5. Число обусловленности (54мин.)
• 3.6. Прямые методы (73мин.)
• • 3.6.1. Основные принципы прямых методов (36мин.)
  • 3.6.2. Оценка ошибки приближенного решения (18мин.)
  • 3.6.3. Заключительные замечания (18мин.)
• 3.7. Итерационные методы (254мин.)
• • 3.7.1. Основные принципы итерационных методов (54мин.)
  • 3.7.2. Метод Якоби (36мин.)
  • 3.7.3. Метод Гаусса — Зейделя (18мин.)
  • 3.7.4. Метод релаксации (73мин.)
  • 3.7.5. Вариационно-итерационные методы (73мин.)
• 3.8. Какие методы более эффективны: прямые или итерационные? (36мин.)
• Тест:  Решение систем линейных уравнений (32мин.)

Глава 4. Вычисление собственных значений и векторов

• 4.1. Основные сведения из линейной алгебры, относящиеся к задаче на собственное значение (18мин.)
• 4.2. Локализация собственных значений (18мин.)
• 4.3. Степенной метод (36мин.)
• 4.4. Метод обратной интерации (36мин.)
• 4.5. Итерации со сдвигом начала (54мин.)
• 4.6. Применение ортогональных преобразований (QR/метод) (54мин.)
• 4.7. Заключительные замечания (18мин.)
• Тест:  Вычисление собственных значений и векторов (16мин.)

Глава 5. Решение систем нелинейных уравнений

• 5.1. Метод простой итерации (91мин.)
• 5.2. Метод Ньютона (54мин.)
• 5.3. Метод с кубической сходимостью (36мин.)
• 5.4. Модификации метода Ньютона (36мин.)
• 5.5. Повышение надежности метода Ньютона (73мин.)
• Тест:  Решение систем нелинейных уравнений (10мин.)

Глава 6. Численное интегрирование

• 6.1. Простейшие квадратурные формулы (91мин.)
• 6.2. Вычисление интегралов с заданной точностью (73мин.)
• 6.3. Формулы Гаусса — Кристоффеля (73мин.)
• 6.4. Несобственные интегралы (54мин.)
• • 6.4.1. Бесконечные пределы интегрирования (36мин.)
  • 6.4.2. Подынтегральная функция имеет особенность (18мин.)
• 6.5. Интегрирование быстро осциллирующих функций (36мин.)
• 6.6. Многомерное интегрирование (145мин.)
• Тест:  Численное интегрирование (12мин.)

Глава 7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

• 7.1. Простейший пример конечно-разностной схемы (36мин.)
• 7.2. Определения аппроксимации и устойчивости (163мин.)
• • 7.2.1. Аппроксимация дифференциального уравнения разностной схемой (73мин.)
  • 7.2.2. Замена производных разностными отношениями (36мин.)
  • 7.2.3. Определение устойчивости разностной схемы (18мин.)
  • 7.2.4. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости (18мин.)
• 7.3. Численное решение задачи Коши (399мин.)
• • 7.3.1. Необходимое условие устойчивости разностных схем для линейных задач (54мин.)
  • 7.3.2. Методы Рунге — Кутта (73мин.)
  • 7.3.3. Методы Адамса (73мин.)
  • 7.3.4. Исследование устойчивости разностных схем в случае нелинейных задач (36мин.)
  • 7.3.5. Системы дифференциальных уравнений (73мин.)
  • 7.3.6. Методы решения жестких систем дифференциальных уравнений (54мин.)
• 7.4. Численное решение краевых задач (327мин.)
• • 7.4.1. Метод стрельбы (36мин.)
  • 7.4.2. Сведение разностной схемы к системе уравнений (54мин.)
  • 7.4.3. Метод последовательных приближений (36мин.)
  • 7.4.4. Метод установления (73мин.)
  • 7.4.5. Аппроксимация граничных условий в случае, когда на границе задано значение производной (36мин.)
  • 7.4.6. Проекционные методы (73мин.)
• 7.5. Оценка ошибки приближенного решения (73мин.)
• Тест:  Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (28мин.)

Глава 8. Интерполяция и приближение функций

• 8.1. Интерполяция (218мин.)
• • 8.1.1. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона (54мин.)
  • 8.1.2. Тригонометрические интерполяционные полиномы (54мин.)
  • 8.1.3. Сплайн интерполяция (54мин.)
  • 8.1.4. Двумерная интерполяция (36мин.)
• 8.2. Приближение функций и представление данных (236мин.)
• • 8.2.1. Метод наименьших квадратов (73мин.)
  • 8.2.2. Приближение функции набором ортогональных функций (109мин.)
  • 8.2.3. Использование интерполяционных полиномов для приближения функций (36мин.)
• Тест:  Интерполяция и приближение функций (12мин.)

Глава 9. Решение интегральных уравнений

• 9.1. Метод замены интеграла квадратурной суммой (54мин.)
• 9.2. Метод последовательных приближений (18мин.)
• 9.3. Метод Галёркина (36мин.)
• Тест:  Решение интегральных уравнений (10мин.)

Глава 10. Поиск экстремумов функции

• 10.1. Общая характеристика методов поиска экстремумов (36мин.)
• 10.2. Метод прямого поиска (36мин.)
• 10.3. Градиентные методы (54мин.)
• 10.4. Метод Ньютона (54мин.)
• Тест:  Поиск экстремумов функции (30мин.)

Глава 11. Численные методы решения задач математической физики

• 11.1. Основные методы построения и анализа разностных схем (236мин.)
• • 11.1.1. Обсуждение основных понятий на примере уравнения переноса (91мин.)
  • 11.1.2. Анализ аппроксимации (54мин.)
  • 11.1.3. Критерий фон Неймана для анализа устойчивости разностных схем (54мин.)
  • 11.1.4. Принцип замороженных коэффициентов (18мин.)
  • 11.1.5. Шаблон разностной схемы (18мин.)
• 11.2. Распространение тепла (диффузия) (436мин.)
• • 11.2.1. Разностная схема для одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами (127мин.)
  • 11.2.2. Построение разностных схем для одномерного уравнения теплопроводности с переменными коэф (91мин.)
  • 11.2.3. Метод расщепления по пространственным переменным (36мин.)
  • 11.2.4. Разностные схемы решения для многомерного уравнения теплопроводности (163мин.)
• 11.3. Распространение акустических волн (581мин.)
• • 11.3.1. Разностная схема для уравнения колебаний (73мин.)
  • 11.3.2. Диссипация и дисперсия сеточного волнового решения (36мин.)
  • 11.3.3. Схема Лакса—Вендроффа (109мин.)
  • 11.3.4. Характеристическая форма уравнений акустики (36мин.)
  • 11.3.5. Недиссипативная схема Ф. Роу (54мин.)
  • 11.3.6. Метод С. К. Годунова (91мин.)
  • 11.3.7. Разностные схемы для решения многомерных задач (182мин.)
  • 11.3.8. Заключительные замечания (18мин.)
• 11.4. Эллиптические уравнения (436мин.)
• • 11.4.1. Выбор метода (18мин.)
  • 11.4.2. Формулировка разностных уравнений в виде системы сеточных уравнений (163мин.)
  • 11.4.3. Применение быстрого преобразования Фурье (73мин.)
  • 11.4.4. Метод установления (127мин.)
  • 11.4.5. Заключительные замечания (36мин.)
• Тест:  Численные методы решения задач математической физики (18мин.)

Приложение A. Узлы и веса некоторых квадратурных формул Гаусса — Кристоффеля

Приложение Б. Преобразование некоторых регулярных областей интегрирования в прямоугольные области

Приложение В. Условия устойчивости для некоторых разностных схем Рунге — Кутта, Адамса и предиктор:к

Приложение Г. Краткий обзор программного обеспечения

• Библиотека подпрограмм LAPACK для задач линейной алгебры (91мин.)
• Библиотека подпрограмм IMSL (127мин.)
• Библиотека подпрограмм Группы по численным алгоритмам (NAG ) (182мин.)
• Вычислительные функции среды MATLAB (54мин.)

Приложение Д. Практические задания для самостоятельной работы

Литература

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (58мин.)