Предисловие

Тема 1. Первичные понятия

• Числовые и алгебраические системы (189мин.)
• • Определения основных понятий (158мин.)
  • МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)
• Тест:  Первичные понятия (10мин.)

Тема 2. Натуральные числа

• 1. Натуральный ряд (158мин.)
• • Формирование определения (63мин.)
  • Независимость аксиом Пеано (32мин.)
  • О непротиворечивости аксиоматической теории натуральных чисел (32мин.)
  • Принцип полной математической индукции (63мин.)
• 2. Сложение. Аддитивная полугруппа натуральных чисел (126мин.)
• • Сложение натуральных чисел (95мин.)
  • Основные свойства сложения (32мин.)
• 3. Умножение. Полукольцо натуральных чисел (95мин.)
• • Умножение натуральных чисел (63мин.)
  • Основные свойства умножения (32мин.)
• 4. Отношение "меньше". Линейно упорядоченное множество натуральных чисел (126мин.)
• • Вспомогательные утверждения (32мин.)
  • Отношение "меньше" для натуральных чисел (63мин.)
  • Основные свойства линейно упорядоченного множества натуральных чисел (32мин.)
• 5. Различные виды доказательств по индукции (63мин.)
• • Усиленный принцип полной математической индукции (32мин.)
  • Обобщенный принцип полной математической индукции (32мин.)
  • Обобщенный усиленный принцип полной математической индукции (32мин.)
• 6. Упорядоченное полукольцо натуральных чисел (32мин.)
• • Связь между операциями +, и отношением < (32мин.)
  • Основные свойства упорядоченного полукольца натуральных чисел (32мин.)
• 7. Индуктивные определения (95мин.)
• • Обоснование индуктивных определений (63мин.)
  • Сумма и произведение нескольких элементов (32мин.)
• 8. Изоморфизм одноименных систем натуральных чисел (95мин.)
• • Чем могут отличаться одноименные системы натуральных чисел? (95мин.)
• 9. Конечные и счетные множества (126мин.)
• • Определение и основное свойство конечного множества (32мин.)
  • Число элементов объединения и прямого произведения двух конечных множеств (32мин.)
  • Счетные множества (63мин.)
• Тест:  Натуральные числа (52мин.)

Тема 3. Целые числа

• 1. Определение системы целых чисел (95мин.)
• • Формирование определения (32мин.)
  • Кольцо целых чисел как расширение полукольца натуральных чисел (32мин.)
  • Определение кольца целых чисел с помощью понятия разности натуральных чисел (32мин.)
• 2. Существование системы целых чисел (63мин.)
• • Вводные соображения (32мин.)
  • Построение кольца целых чисел (63мин.)
• 3. Основные свойства системы целых чисел (221мин.)
• • Основные свойства колец (32мин.)
  • Область целостности (32мин.)
  • Упорядоченное кольцо целых чисел (63мин.)
  • Деление с остатком (32мин.)
  • Представление целого числа в десятичной системе счисления (32мин.)
  • Изоморфизм систем целых чисел (32мин.)
  • Системы с основным множеством целых чисел (32мин.)
• Тест:  Целые числа (10мин.)

Тема 4. Рациональные числа

• 1. Определение системы рациональных чисел (63мин.)
• • Формирование определения (32мин.)
  • Поле рациональных чисел как расширение кольца целых чисел (32мин.)
• 2. Существование системы рациональных чисел (32мин.)
• • Вводные соображения (32мин.)
  • Построение поля рациональных чисел (32мин.)
• 3. Основные свойства системы рациональных чисел (126мин.)
• • Основные свойства полей (32мин.)
  • Упорядоченное поле рациональных чисел (63мин.)
  • Изоморфизм (упорядоченных) полей рациональных чисел (32мин.)
  • Системы с основным множеством рациональных чисел (32мин.)
• 4. Представление рациональных чисел десятичными дробями (158мин.)
• • Десятичные дроби (32мин.)
  • Способ представления рационального числа десятичной дробью (126мин.)
• Тест:  Рациональные числа (14мин.)

Тема 5. Действительные числа

• 1. Определение системы действительных чисел (126мин.)
• • Формирование определения (63мин.)
  • Обсуждение определения (63мин.)
• 2. Существование системы действительных чисел (221мин.)
• • Вводные соображения (32мин.)
  • Линейно упорядоченное множество десятичных дробей (63мин.)
  • Конечные десятичные дроби (32мин.)
  • Сложение произвольных десятичных дробей (63мин.)
  • Основные свойства сложения десятичных дробей (32мин.)
  • Умножение произвольных десятичных дробей (63мин.)
• 3. Представление действительных чисел десятичными дробями (189мин.)
• • Последовательность стягивающихся отрезков (32мин.)
  • Целая часть действительного числа (32мин.)
  • Представление действительного числа десятичной дробью (63мин.)
  • Связь между отношениями линейного порядка на множествах R и S (32мин.)
  • Другая трактовка понятия представимости действительного числа десятичной дробью (32мин.)
  • Характеризация рационального числа через его представление в виде десятичной дроби (32мин.)
• 4. Изоморфизм упорядоченных полей действительных чисел (63мин.)
• • Представление в виде десятичной дроби суммы и произведения двух действительных чисел (32мин.)
  • Изоморфные отображения упорядоченного поля действительных чисел (32мин.)
  • Еще один аспект понятия представимости действительного числа десятичной дробью (32мин.)
• 5. Аксиома Архимеда и усиленная аксиома Кантора в упорядоченных полях (95мин.)
• • Упорядоченные поля, удовлетворяющие аксиоме Архимеда (63мин.)
  • Усиленная аксиома Кантора (32мин.)
• 6. Степени и логарифмы (189мин.)
• • Степень с целым показателем (32мин.)
  • Степень с рациональным показателем (63мин.)
  • Степень с действительным показателем (63мин.)
  • Логарифмы (32мин.)
• 7. Другие определения системы действительных чисел (158мин.)
• • Определения системы действительных чисел с помощью понятий сечения и верхней границы (95мин.)
  • Определение системы действительных чисел с помощью понятия фундаментальной последовательности (63мин.)
• 8. p-адические числа (473мин.)
• • Кольцо m-адических чисел (158мин.)
  • 10-адические числа (63мин.)
  • m-адическая норма (32мин.)
  • Нормированные поля (95мин.)
  • Абстрактная характеризация поля p-адических чисел и поля действительных чисел с помощью понятия нормы (126мин.)
• Тест:  Действительные числа (10мин.)

Тема 6. Комплексные, двойные и дуальные числа

• 1. Комплексные числа (63мин.)
• • Формирование определения (32мин.)
  • Алгебраическая форма комплексного числа (32мин.)
  • Существование поля комплексных чисел (32мин.)
• 2. Основные свойства комплексных чисел (63мин.)
• • Единственность алгебраической формы. Об отношении линейного порядка на множестве комплексных чисел (32мин.)
  • Изоморфизм (32мин.)
  • Расширения числовых систем, связанные с решением уравнений (32мин.)
• 3. Двойные и дуальные числа (95мин.)
• • Определение и существование двойных и дуальных чисел (32мин.)
  • Общий взгляд на комплексные, двойные и дуальные числа (63мин.)
• Тест:  Комплексные, двойные и дуальные числа (10мин.)

Тема 7. Алгебры над полем действительных чисел

• 1. Кватернионы (32мин.)
• • Формирование определения (32мин.)
  • Определение и существование системы кватернионов (32мин.)
• 2. Общая характеризация некоторых числовых систем (189мин.)
• • Необходимые сведения из курса алгебры (32мин.)
  • Характеризация комплексных, двойных и дуальных чисел как алгебр над полем действительных чисел (32мин.)
  • Общий взгляд на действительные, комплексные числа и кватернионы (95мин.)
  • Гиперкомплексные числа (32мин.)
• Тест:  Алгебры над полем действительных чисел (10мин.)

Список литературы

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (34мин.)