Предисловие

Тема 1. Введение. Основные понятия о дифференциальных уравнениях

• 1.1. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений (115мин.)
• 1.2. Понятие решения дифференциального уравнения (99мин.)
• 1.3. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения (49мин.)
• 1.4. Системы дифференциальных уравнений (49мин.)
• МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)
• Тест:  Введение. Основные понятия о дифференциальных уравнениях (24мин.)

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

• 2.1. Основные определения. Понятие решения. Различные способы представления решения (66мин.)
• 2.2. Задача Коши (132мин.)
• 2.3. Геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения первого порядка (49мин.)
• 2.4. Общее решение и общий интегралдифференциальных уравнений. Особые точки и особые решения (49мин.)
• 2.5. Дифференциальные уравнения первого порядка, допускающие интегрирование в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными (115мин.)
• 2.6. Приведение к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Замены переменных (33мин.)
• 2.7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Квазиоднородные дифференциальные уравнения (66мин.)
• 2.8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (16мин.)
• 2.9. Дифференциальный оператор (49мин.)
• 2.10. Решение линейных дифференциальных уравнений (132мин.)
• • 2.10.1. Решение линейного однородного дифференциального уравнения (49мин.)
  • 2.10.2. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (49мин.)
  • 2.10.3. Решение линейного дифференциального уравнения при условии разрыва первого рода коэффициентов уравнения (33мин.)
• 2.11. Дифференциальные уравнения первого порядка, сводящиеся к линейным (66мин.)
• • 2.11.1. Уравнение Бернулли (33мин.)
  • 2.11.2. Уравнение Риккати (33мин.)
• 2.12. Различие между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями (49мин.)
• 2.13. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (115мин.)
• 2.14. Зависимость решения дифференциального уравнения от параметров и начальных условий (49мин.)
• 2.15. Понятие огибающей (49мин.)
• 2.16. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной (99мин.)
• 2.17. Дифференциальные уравнения Клеро, Лагранжа (49мин.)
• Тест:  Дифференциальные уравнения первого порядка (62мин.)

Тема 3. Дифференциальные уравнения второго порядка

• 3.1. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка (148мин.)
• • 3.1.1. Основные определения (33мин.)
  • 3.1.2. Приведение к дифференциальному уравнению первого порядка (33мин.)
  • 3.1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (33мин.)
  • 3.1.4. Дифференциальный оператор (33мин.)
  • 3.1.5. Задача Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (16мин.)
• 3.2. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (16мин.)
• • 3.2.1. Свойства решений однородного линейного дифференциального уравнения (16мин.)
  • 3.2.2. Ядро линейного оператора (16мин.)
• 3.3. Линейная зависимость и независимость функций (82мин.)
• • 3.3.1. Критерий линейной независимости двух функций (33мин.)
  • 3.3.2. Определитель Вронского и его свойства (33мин.)
• 3.4. Линейно зависимые и линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения (165мин.)
• • 3.4.1. Фундаментальные системы решений однородного дифференциального уравнения (99мин.)
  • 3.4.2. Теорема Абеля. Формула Остроградского - Лиувилля (49мин.)
• 3.5. Теоремы о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения (49мин.)
• • 3.5.1. Однородное дифференциальное уравнение (33мин.)
  • 3.5.2. Неоднородное дифференциальное уравнение (16мин.)
• 3.6. Метод вариации постоянных (49мин.)
• 3.7. Представление решения задачи Коши (66мин.)
• 3.8. Понижение порядка однородного дифференциального уравнения (132мин.)
• 3.9. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (66мин.)
• 3.10. Метод неопределенных коэффициентов (82мин.)
• 3.11. Уравнения Эйлера, Лагранжа и Чебышёва (82мин.)
• 3.12. Нули решений дифференциального уравнения второго порядка (132мин.)
• • 3.12.1. Теорема о конечности числа нулей на отрезке (16мин.)
  • 3.12.2. Теоремы о чередовании нулей, сравнения и Кнезера (82мин.)
  • 3.12.3. Нули решений нелинейных дифференциальных уравнений (33мин.)
• Тест:  Дифференциальные уравнения второго порядка (54мин.)

Тема 4. Дифференциальные уравнения высших порядков

• 4.1. Основные определения (33мин.)
• 4.2. Основные случаи понижения порядка дифференциального уравнения n-го порядка (132мин.)
• 4.3. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка (16мин.)
• 4.4. Дифференциальный оператор. Свойства решений линейного дифференциального уравнения (33мин.)
• 4.5. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского (49мин.)
• 4.6. Линейная зависимость и независимость решений однородного дифференциального уравнения (16мин.)
• 4.7. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения (49мин.)
• • 4.7.1. Восстановление однородного дифференциального уравнения по известной фундаментальной системе решений (16мин.)
  • 4.7.2. Формула Остроградского - Лиувилля (33мин.)
• 4.8. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения (132мин.)
• • 4.8.1. Метод Лагранжа (82мин.)
  • 4.8.2. Понижение порядка линейного однородного дифференциального уравнения (33мин.)
• 4.9. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (66мин.)
• 4.10. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (82мин.)
• • 4.10.1. Уравнения Эйлера, Лагранжа (33мин.)
  • 4.10.2. Решения линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов (16мин.)
• 4.11. Уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения (66мин.)
• Тест:  Дифференциальные уравнения высших порядков (30мин.)

Тема 5. Системы линейных дифференциальных уравнений

• 5.1. Основные определения (115мин.)
• 5.2. Приведение к системе дифференциальных уравнений первого порядка систем и уравнений более высоких порядков (49мин.)
• 5.3. Расширения основных определений и операций для матриц (82мин.)
• 5.4. Линейное пространство и линейный оператор (115мин.)
• 5.5. Линейные системы дифференциальных уравнений (33мин.)
• 5.6. Дифференциальный оператор (49мин.)
• 5.7. Линейная зависимость и независимость функций (66мин.)
• 5.8. Фундаментальная система решений (66мин.)
• 5.9. Структура общего решения линейной системы дифференциальных уравнений (132мин.)
• • 5.9.1. Решение задачи Коши с помощью фундаментальной матрицы (49мин.)
  • 5.9.2. Метод вариации постоянных (66мин.)
• 5.10. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (214мин.)
• 5.11. Решение систем n дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (197мин.)
• • 5.11.1. Диагонализация матрицы неоднородной системы дифференциальных уравнений (33мин.)
  • 5.11.2. Кратные корни характеристического уравнения матрицы системы дифференциальных уравнений (115мин.)
• 5.12. Функции от матриц (132мин.)
• 5.13. Применение к решению системы линейных дифференциальных уравнений матричной экспоненты (165мин.)
• • 5.13.1. Решение однородной системы дифференциальных уравнений с помощью матричной экспоненты (66мин.)
  • 5.13.2. Решение задачи Коши для неоднородной системы дифференциальных уравнений с помощью матричной экспоненты (66мин.)
• Тест:  Системы линейных дифференциальных уравнений (66мин.)

Тема 6. Первые интегралы

• 6.1. Основные понятия и определения (115мин.)
• 6.2. Функциональная зависимость (49мин.)
• 6.3. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов (49мин.)
• 6.4. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений с помощью первых интегралов (66мин.)
• 6.5. Способ построения первого интеграла для линейных систем произвольного порядка с постоянными коэффициентами (66мин.)
• 6.6. Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными (66мин.)
• 6.7. Квазилинейное дифференциальное уравнение (66мин.)
• Тест:  Первые интегралы (28мин.)

Тема 7. Краевые задачи для дифференциальных уравнений

• 7.1. Постановка краевой задачи (99мин.)
• 7.2. Линейная краевая задача (66мин.)
• 7.3. Приведение краевой задачи с неоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями (49мин.)
• 7.4. Самосопряженный вид дифференциального уравнения второго порядка (115мин.)
• • 7.4.1. Решение однородной краевой задачи для неоднородного линейного дифференциального уравнения (49мин.)
  • 7.4.2. Необходимое условие разрешимости краевой задачи для неоднородного дифференциального уравнения (33мин.)
• 7.5. Функция Грина (82мин.)
• • 7.5.1. Метод построения функции Грина при однородных краевых условиях (16мин.)
  • 7.5.2. Решение неоднородной краевой задачи вида с помощью функции Грина (49мин.)
• 7.6. Дифференциальный оператор: сопряженные и самосопряженные операторы (49мин.)
• • 7.6.1. Тождество Лагранжа (16мин.)
  • 7.6.2. Формула Грина (16мин.)
• 7.7. Задача Штурма - Лиувилля (230мин.)
• • 7.7.1. Введение параметра в краевую задачу (49мин.)
  • 7.7.2. Решение задачи Штурма - Лиувилля (16мин.)
  • 7.7.3. Сведение задачи Штурма - Лиувилля к интегральному уравнению (33мин.)
  • 7.7.4. Примеры решения задач Штурма - Лиувилля (82мин.)
  • 7.7.5. Неоднородная задача Штурма - Лиувилля (49мин.)
• 7.8. Пример решения краевой задачи (99мин.)
• Тест:  Краевые задачи для дифференциальных уравнений (38мин.)

Тема 8. Элементы теории устойчивости

• 8.1. Основные понятия и определения (99мин.)
• 8.2. Устойчивость систем дифференциальных уравнений (82мин.)
• 8.3. Функции Ляпунова. Теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости (49мин.)
• 8.4. Особые точки на фазовой плоскости (214мин.)
• 8.5. Понятие о предельном цикле (49мин.)
• 8.6. Построение функции Ляпунова для анализа устойчивости линейной системы общего вида (99мин.)
• Тест:  Элементы теории устойчивости (32мин.)

Тема 9. Преобразование Лапласа

• 9.1. Определение интегрального оператора и интегрального преобразования Лапласа (49мин.)
• 9.2. Достаточные условия существования преобразования Лапласа. Функция экспоненциального роста (33мин.)
• 9.3. Кусочно-непрерывные функции (82мин.)
• 9.4. Основные свойства преобразования Лапласа. Теоремы запаздывания, подобия, смещения (33мин.)
• 9.5. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения (148мин.)
• 9.6. Преобразование Лапласа периодической функции (82мин.)
• 9.7. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа (132мин.)
• • 9.7.1. Применение интеграла Дюамеля к решению дифференциальных уравнений (33мин.)
  • 9.7.2. Решение дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля (33мин.)
  • 9.7.3. Понятие обобщенного решения дифференциального уравнения (49мин.)
• 9.8. Функция Хевисайда (148мин.)
• • 9.8.1. Решение дифференциальных уравнений с разрывной правой частью с помощью функции Хевисайда (33мин.)
  • 9.8.2. Применение функции Хевисайда при преобразовании Лапласа периодической функции (33мин.)
• 9.9. Функция Дирака и ее свойства (197мин.)
• • 9.9.1. Определение функции Дирака (33мин.)
  • 9.9.2. Свойства функции Дирака (165мин.)
• Тест:  Преобразование Лапласа (42мин.)

Тема 10. Начальные сведения о численных методах решения дифференциальных уравнений

• 10.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов (99мин.)
• 10.2. Метод последовательных приближений (33мин.)
• 10.3. Метод изоклин для приближенного построения интегральных кривых (33мин.)
• 10.4. Методы Эйлера и Рунге - Кутты (82мин.)
• 10.5. Метод Адамса (16мин.)
• 10.6. Применение метода прогонки в двухточечной краевой задаче. Метод конечных разностей (49мин.)
• Тест:  Начальные сведения о численных методах решения дифференциальных уравнений (14мин.)

Тема 11. Примеры приложения дифференциальных уравнений к решению различных задач естествознания

• 11.1. Некоторые задачи механики (динамика точки) (99мин.)
• 11.2. Движение заряженной частицы в магнитном поле (99мин.)
• 11.3. Натуральные уравнения кривой (33мин.)
• 11.4. Инвариантные множества автономных систем (66мин.)
• 11.5. Задача из экологии: модель "хищник - жертва" (33мин.)
• 11.6. Пример гидравлической автоколебательной системы: чаша Тантала (66мин.)
• 11.7. О распределении с высотой давления и температуры в атмосфере (99мин.)
• 11.8. Задачи химической кинетики (66мин.)
• 11.9. Механические и электрические колебания (115мин.)
• • 11.9.1. Превращения энерии в колебательном контуре (33мин.)
  • 11.9.2. Механические колебания. Математический маятник (82мин.)
• Тест:  Примеры приложения дифференциальных уравнений к решению различных задач естествознания (22мин.)

Литература

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (40мин.)