Предисловие

• МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)

Латинский и греческий алфавиты

Основные обозначения

Глава 1. Абстрактная оптимизация

• 1.1. Математическая формулировка и свойства общей проблемы оптимизации (39мин.)
• 1.2. Существование и отсутствие максимума (78мин.)
• • 1.2.1. Причины отсутствия максимума (39мин.)
  • 1.2.2. Необходимые и достаточные условия максимума (20мин.)
  • 1.2.3. Достаточные условия максимума (20мин.)
• 1.3. Эквивалентные и взаимные задачи оптимизации (98мин.)
• • 1.3.1. Эквивалентные преобразования критерия оптимальности (39мин.)
  • 1.3.2. Взаимная замена критерия оптимальности и ограничения допустимости (59мин.)
• 1.4. Теоретико-множественный подход к оптимизации (157мин.)
• • 1.4.1. Сведение проблемы оптимизации к поиску точной границы между пустотой и непустотой множеств желаемых решений (39мин.)
  • 1.4.2. Техника отыскания границы непустоты параметрически заданных множеств (39мин.)
  • 1.4.3. Пример решения задачи оптимизации через непустоту множества желаемых допустимых решений (39мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Абстрактная оптимизация (26мин.)
• ✓ Непрерывность функции в точке. Непрерывность многочленов | матан #019 | Борис Трушин (16мин.)

Глава 2. Конечномерная оптимизация

• 2.1. Геометрический способ решения (98мин.)
• • 2.1.1. Одномерные задачи (39мин.)
  • 2.1.2. Двумерные задачи (59мин.)
• 2.2. Аналитический метод последовательной оптимизации (137мин.)
• • 2.2.1. Общая схема метода (59мин.)
  • 2.2.2. Вырожденные примеры (20мин.)
  • 2.2.3. Невырожденный пример (39мин.)
  • Литература (20мин.)
• Тест:  Конечномерная оптимизация (10мин.)

Глава 3. Математическое программирование

• 3.1. Формы записи (39мин.)
• 3.2. Переход от глобальной оптимизации к локальной (78мин.)
• • 3.2.1. Степенная аппроксимация целевых функций (20мин.)
  • 3.2.2. Локальный максимум вместо глобального (20мин.)
  • 3.2.3. Градиент как средство локальной оптимизации (39мин.)
• 3.3. Условия экстремума во внутренней точке (216мин.)
• • 3.3.1. Анализ линейного приближения (20мин.)
  • 3.3.2. Анализ квадратичного приближения (59мин.)
  • 3.3.3. Детерминантная форма достаточных условий для локальных экстремумов (39мин.)
  • 3.3.4. Практические рекомендации и примеры (98мин.)
• 3.4. Условия максимума в граничных точках (235мин.)
• • 3.4.1. Максимум на гладком участке границы (98мин.)
  • 3.4.2. Максимум в угловой точке границы (39мин.)
  • 3.4.3. Отыскание глобального максимума перебором активных ограничений (20мин.)
  • 3.4.4. Решение классической задачи о потребительском выборе (59мин.)
  • 3.4.5. Универсальная методика Дубовицкого — Милютина получения необходимых условий оптимальности (20мин.)
• 3.5. Численные методы решения задач математического программирования (137мин.)
• • 3.5.1. Градиентные методы (39мин.)
  • 3.5.2. Метод штрафных функций (78мин.)
  • Литература (20мин.)
• Тест:  Математическое программирование (18мин.)

Глава 4. Метод Лагранжа и условия Куна — Таккера

• 4.1. Игровое изложение процедуры Лагранжа (98мин.)
• • 4.1.1. Сведение к максимину функции Лагранжа (59мин.)
  • 4.1.2. Седловая точка функции Лагранжа (39мин.)
• 4.2. Условия Куна — Таккера (118мин.)
• • 4.2.1. Необходимые условия экстремумов в седловой точке функции Лагранжа (39мин.)
  • 4.2.2. Пример использования условий Куна — Таккера (39мин.)
  • 4.2.3. Совпадение условий Куна — Таккера и градиентных условий максимума (39мин.)
• 4.3. Классическая задача на условный экстремум (176мин.)
• • 4.3.1. Специфика задачи (20мин.)
  • 4.3.2. Необходимые условия локальных экстремумов (20мин.)
  • 4.3.3. Квадратичный анализ (39мин.)
  • 4.3.4. Окаймленный гессиан (20мин.)
  • 4.3.5. Детерминантные достаточные признаки условных экстремумов (20мин.)
  • 4.3.6. Пример решения задачи на условный экстремум (39мин.)
  • 4.3.7. Анализ чувствительности (20мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Метод Лагранжа и условия Куна — Таккера (10мин.)

Глава 5. Выпуклое программирование

• 5.1. Выпуклость/вогнутость функций на всем пространстве Rn (157мин.)
• • 5.1.1. Определение вогнутости и выпуклости функций (39мин.)
  • 5.1.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций (39мин.)
  • 5.1.3. Конструктивные условия выпуклости/вогнутости функций (20мин.)
  • 5.1.4. Пример использования критерия Сильвестра для выявления характера функции (59мин.)
• 5.2. Выпуклость/вогнутость функций на выпуклых множествах (118мин.)
• • 5.2.1. Обобщение определений (39мин.)
  • 5.2.2. Свойства выпуклых множеств (20мин.)
  • 5.2.3. Дополнительные сведения о выпуклых/вогнутых функциях на выпуклых множествах (59мин.)
• 5.3. Условия оптимальности в задачах выпуклого программирования (176мин.)
• • 5.3.1. Определения задач выпуклого программирования (20мин.)
  • 5.3.2. Свойства решений (39мин.)
  • 5.3.3. Регулярность ограничений по Якоби и по Слейтеру (20мин.)
  • 5.3.4. Необходимость и достаточность условий Куна — Таккера для экстремумов выпуклых задач (39мин.)
  • 5.3.5. Многоэтапная схема решения общей задачи нелинейного программирования (39мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Выпуклое программирование (12мин.)

Глава 6. Линейное программирование

• 6.1. Особенности линейных моделей (255мин.)
• • 6.1.1. Типичный пример (39мин.)
  • 6.1.2. Общая запись модели (20мин.)
  • 6.1.3. Сходства и различия в записях задач линейной и нелинейной оптимизации (20мин.)
  • 6.1.4. Специфика линейной оптимизации по существу (78мин.)
  • 6.1.5. Пример геометрического решения (39мин.)
  • 6.1.6. Градиентный анализ на примере задачи об экспертизе (78мин.)
• 6.2. Симплекс-метод (157мин.)
• • 6.2.1. Идея симплекс-метода (20мин.)
  • 6.2.2. Техника симплекс-метода (59мин.)
  • 6.2.3. Транспортные задачи линейного программирования (78мин.)
• 6.3. Теория двойственности (216мин.)
• • 6.3.1. Экономическая интерпретация прямой и двойственной задач (118мин.)
  • 6.3.2. Вырожденные случаи (39мин.)
  • 6.3.3. Теоремы двойственности (39мин.)
  • 6.3.4. Пример двойственной задачи (20мин.)
• 6.4. Чувствительность к разным типам исходных данных (235мин.)
• • 6.4.1. Особенности проявления чувствительности в задачах линейного программирования (20мин.)
  • 6.4.2. Воздействие запасов ресурсов (78мин.)
  • 6.4.3. Воздействие цены продаж (39мин.)
  • 6.4.4. Воздействие удельных затрат (39мин.)
  • 6.4.5. Общие результаты о чувствительности максимумов (20мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Линейное программирование (18мин.)

Глава 7. Дискретная оптимизация

• 7.1. Особенности и примеры дискретных задач (176мин.)
• • 7.1.1. Специфика задач дискретной оптимизации (20мин.)
  • 7.1.2. Канонические примеры и классификация (78мин.)
  • 7.1.3. Классификация задач целочисленного программирования (39мин.)
  • 7.1.4. Геометрическое отыскание целочисленного решения и округление (39мин.)
• 7.2. Метод отсечений (Гомори) (59мин.)
• • 7.2.1. Идея метода (20мин.)
  • 7.2.2. Иллюстрация метода на примере (59мин.)
• 7.3. Метод ветвей и границ (157мин.)
• • 7.3.1. Сравнение с методом отсечений (20мин.)
  • 7.3.2. Иллюстрация метода на примере (39мин.)
  • 7.3.3. Общая схема (118мин.)
• 7.4. Сетевое планирование (118мин.)
• • 7.4.1. Построение сетевого графика (59мин.)
  • 7.4.2. Проверка построенного графа (20мин.)
  • 7.4.3. Формальное определение графа (20мин.)
• 7.5. Расчет минимальной продолжительности разработки проекта (59мин.)
• • 7.5.1. Отыскание критического пути (20мин.)
  • 7.5.2. Сведение к задаче линейного программирования (39мин.)
• 7.6. Задача о максимальном потоке в сети (118мин.)
• • 7.6.1. Формализация (20мин.)
  • 7.6.2. Метод минимального разреза (20мин.)
  • 7.6.3. Метод увеличивающей цепи (20мин.)
  • 7.6.4. Сведение к задаче линейного программирования (39мин.)
  • Литература (20мин.)
• Тест:  Дискретная оптимизация (18мин.)

Глава 8. Динамическое программирование

• 8.1. Уравнение Беллмана для конечно-разностных систем (176мин.)
• • 8.1.1. Принцип оптимальности (20мин.)
  • 8.1.2. Рекурсивная процедура для канонической задачи (98мин.)
  • 8.1.3. Распространение процедуры на функционал Больца (59мин.)
• 8.2. Обобщение беллмановской процедуры на задачи с фазовыми и смешанными ограничениями (59мин.)
• • 8.2.1. О происхождении фазовых и смешанных ограничений (20мин.)
  • 8.2.2. Общая схема решения (39мин.)
• 8.3. Решение некоторых статических задач методом динамического программирования (78мин.)
• • 8.3.1. Сведение статической задачи распределения ресурсов к динамической (39мин.)
  • 8.3.2. Сведение задачи линейного программирования к динамической (20мин.)
• 8.4. Уравнение Беллмана в непрерывном времени (137мин.)
• • Литература (20мин.)
• Тест:  Динамическое программирование (14мин.)

Глава 9. Принцип максимума в управлении динамическими системами

• 9.1. Формулировка динамических задач оптимизации (137мин.)
• • 9.1.1. Переменные и параметры динамических управляемых моделей (20мин.)
  • 9.1.2. Уравнения динамики (20мин.)
  • 9.1.3. Возможности и цели управления (39мин.)
  • 9.1.4. Качество управления (39мин.)
  • 9.1.5. О существовании оптимальных решений в динамических задачах (39мин.)
• 9.2. Необходимые условия оптимальности — принцип максимума Л. С. Понтрягина (176мин.)
• • 9.2.1. Идея принципа максимума (20мин.)
  • 9.2.2. Каноническая задача оптимального управления (20мин.)
  • 9.2.3. Теорема Л. С. Понтрягина (78мин.)
  • 9.2.4. Принцип максимума и классическое вариационное исчисление (39мин.)
  • 9.2.5. Уравнение Беллмана и принцип максимума Понтрягина (20мин.)
• 9.3. Использование теоремы Л. С. Понтрягина (431мин.)
• • 9.3.1. Пример решения задачи со свободным правым концом траектории (137мин.)
  • 9.3.2. Пример решения задачи с закрепленными концами траектории (274мин.)
• 9.4. Условия трансверсальности для задач с незакрепленными концами траектории (216мин.)
• • 9.4.1. Общая схема получения условий трансверсальности (78мин.)
  • 9.4.2. Примеры (20мин.)
  • 9.4.3. Условия трансверсальности и принцип максимума для функционала Больца (20мин.)
  • 9.4.4. Задачи с нефиксированным отрезком времени (98мин.)
• 9.5. Распространение принципа максимума на нестандартные задачи управления (294мин.)
• • 9.5.1. Смешанные ограничения на управление и фазовые координаты (39мин.)
  • 9.5.2. Постоянные управляющие параметры (20мин.)
  • 9.5.3. Требования к функциональному виду управления (39мин.)
  • 9.5.4. Ограниченное время действия управления (20мин.)
  • 9.5.5. Запаздывания в фазовых координатах (59мин.)
  • 9.5.6. Запаздывания в управлении (59мин.)
  • 9.5.7. Задачи в дискретном времени (59мин.)
• 9.6. Достаточные условия В. Ф. Кротова (333мин.)
• • 9.6.1. Вводные замечания (20мин.)
  • 9.6.2. Обобщенная формулировка задачи оптимального управления (20мин.)
  • 9.6.3. Идея достаточных условий и лемма о неулучшающем расширении (20мин.)
  • 9.6.4. Конструкция расширенного функционала и теорема о достаточности (39мин.)
  • 9.6.5. Построение производящей функции с использованием процедуры Понтрягина (78мин.)
  • 9.6.6. Построение производящей функции с использованием уравнения Беллмана (39мин.)
  • 9.6.7. Метод кратных максимумов (78мин.)
  • 9.6.8. Игровая идея численных методов построения производящей функции (20мин.)
  • Литература (20мин.)
• Тест:  Принцип максимума в управлении динамическими системами (44мин.)

Глава 10. Многокритериальное принятие решений

• 10.1. Недоминируемые, или эффективные, решения (216мин.)
• • 10.1.1. Многокритериальная и однокритериальная оптимизация (20мин.)
  • 10.1.2. Допустимые решения и критерии (20мин.)
  • 10.1.3. Недоминируемые, или эффективные, решения (39мин.)
  • 10.1.4. Пример континуальной двухкритериальной задачи (20мин.)
  • 10.1.5. Определение эффективности в пространстве управлений (20мин.)
  • 10.1.6. Пример дискретной задачи (39мин.)
  • 10.1.7. Трансформация эффективностей при расширении набора критериев (20мин.)
  • 10.1.8. Экспертно оцениваемые критерии и их шкалы (59мин.)
• 10.2. Выделение эффективных решений посредством однокритериальной оптимизации (157мин.)
• • 10.2.1. Метод критериальных ограничений (39мин.)
  • 10.2.2. Метод линейной свертки критериев (59мин.)
  • 10.2.3. Эффективные решения в линейных задачах (59мин.)
• 10.3. Дополнительные сведения о теории многоаспектного выбора (333мин.)
• • 10.3.1. Целевое программирование (59мин.)
  • 10.3.2. Линейные задачи целевого программирования (98мин.)
  • 10.3.3. Интерактивные методы многокритериального выбора (78мин.)
  • 10.3.4. Бескритериальная формализация предпочтений (59мин.)
  • Литература (39мин.)
• Тест:  Многокритериальное принятие решений (18мин.)

Глава 11. Гарантирующее планирование в условиях неопределенности

• 11.1. Формализация проблемы гарантирующего управления (78мин.)
• • 11.1.1. Основные понятия (39мин.)
  • 11.1.2. Принцип гарантированного результата (39мин.)
• 11.2. Методы построения оптимальных гарантирующих планов (157мин.)
• • 11.2.1. Сведение к задаче математического программирования (39мин.)
  • 11.2.2. Пример решения задачи линейного программирования с неопределенностями (59мин.)
  • 11.2.3. Сведение к максимину без ограничений методом Лагранжа (39мин.)
• 11.3. Сравнение с идеальным управлением (98мин.)
• • 11.3.1. Максимизирующая стратегия (20мин.)
  • 11.3.2. Сопоставление по условиям разрешимости (20мин.)
  • 11.3.3. Сравнение по критерию качества (20мин.)
  • 11.3.4. Игровая интерпретация (20мин.)
  • 11.3.5. Пример наличия седловой точки (20мин.)
• 11.4. Другие способы выбора управления в условиях неопределенности (98мин.)
• • 11.4.1. Минимизация отклонения от идеального решения (39мин.)
  • 11.4.2. Оптимистические и промежуточные оценки (20мин.)
  • 11.4.3. Принцип равной вероятности (20мин.)
• 11.5. Гарантирующее планирование для динамических систем в непрерывном времени (255мин.)
• • 11.5.1. Конкретизация общей схемы на примере задачи управления запасами (59мин.)
  • 11.5.2. Сведение к задаче оптимального управления без возмущений (59мин.)
  • 11.5.3. Решение результирующей задачи (39мин.)
  • 11.5.4. Обобщающие замечания (39мин.)
  • 11.5.5. Численное построение допустимых гарантирующих планов (59мин.)
• 11.6. Гарантирующее пошаговое управление для динамических систем в дискретном времени (157мин.)
• • Литература (20мин.)
• Тест:  Гарантирующее планирование в условиях неопределенности (22мин.)

Глава 12. Вероятностное и вероятностно-гарантирующее планирование

• 12.1. Общие положения вероятностного планирования (59мин.)
• 12.2. Рандомизация выбора управления — смешанные стратегии (176мин.)
• • 12.2.1. Условия применимости смешанных стратегий (39мин.)
  • 12.2.2. Чистые и смешанные стратегии для матричных игр (39мин.)
  • 12.2.3. Матричная игра об инспекции сокрытия доходов и ее смешанное расширение (78мин.)
  • 12.2.4. Общий метод построения седловой точки в смешанных стратегиях для матричных игр (20мин.)
• 12.3. Вероятностно-гарантирующее планирование (78мин.)
• • 12.3.1. Вероятностно-гарантирующий подход (39мин.)
  • 12.3.2. Вероятностно-гарантирующие решения дискретных задач с конечными множествами возмущений и планов (39мин.)
• 12.4. Универсальная формулировка задачи о вероятностно- гарантирующем планировании (59мин.)
• • 12.4.1. Подмножества благоприятных возмущений (20мин.)
  • 12.4.2. Жесткие и нежесткие ограничения на управление (39мин.)
• 12.5. Предельная тождественность вероятностно-гарантирующего и гарантирующего планирования (294мин.)
• • 12.5.1. Возможный диапазон наилучших вероятностно-гарантирующих оценок (20мин.)
  • 12.5.2. Достаточные условия предельной тождественности (59мин.)
  • 12.5.3. Примеры отсутствия предельной тождественности (78мин.)
  • 12.5.4. Характер сходимости вероятностного решения к гарантирующему (137мин.)
• 12.6. Вероятностно-гарантирующее планирование в конечношаговой задаче управления запасами (294мин.)
• • 12.6.1. Модификации (20мин.)
  • 12.6.2. Формулировка задачи вероятностно-гарантирующего планирования (59мин.)
  • 12.6.3. Общие свойства (20мин.)
  • 12.6.4. Динамический пример (98мин.)
  • 12.6.5. Сравнение с идеальным и гарантирующим решениями (78мин.)
  • Литература (20мин.)
• Тест:  Вероятностное и вероятностно-гарантирующее планирование (18мин.)

Новые издания по дисциплине «Методы оптимизации» и смежным дисциплинам

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (26мин.)