1. Введение

• 1.1. Обзор курса первого семестра (58мин.)
• 1.2. Обзор курса второго семестра (19мин.)
• 1.3. Один пример (77мин.)
• 1.4. Компетенции (39мин.)
• • МОЖНО ЛИ ДОВЕРЯТЬ МАТЕМАТИКЕ? | IQ (0мин.)

2. Качественные свойства решений ОДУ

• 2.1. Первые интегралы для ОДУ (77мин.)
• • 2.1.1. Первые интегралы и интегральные кривые (19мин.)
  • 2.1.2. Множество первых интегралов и его свойства (39мин.)
• 2.2. Первые интегралы автономной системы (39мин.)
• Тест:  Качественные свойства решений ОДУ (14мин.)

3. УрЧП первого порядка и их классические решения

• 3.1. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка (116мин.)
• • 3.1.1. Линейные уравнения в частных производных первого порядка (39мин.)
  • 3.1.2. Квазилинейные УрЧП первого порядка (77мин.)
• 3.2. Задача Коши для квазилинейных УрЧП (116мин.)
• • 3.2.1. Теорема существования и единственности решения (19мин.)
  • 3.2.2. Алгоритмы интегрирования задачи Коши для линейного и квазилинейного УрЧП (19мин.)
  • 3.2.3. Обобщение алгоритма А2 на случай произвольной размерности. Интегрирование уравнений неразрывности и переноса (77мин.)
• 3.3. Введение в теорию нелинейных УрЧП первого порядка. Огибающие и характеристики (194мин.)
• • 3.3.1. Полные интегралы и огибающие (39мин.)
  • 3.3.2. Примеры и упражнения (39мин.)
  • 3.3.3. Вывод характеристических уравнений. Задача Коши (19мин.)
  • 3.3.4. Вспомогательные утверждения (39мин.)
  • 3.3.5. Локальная теорема существования (39мин.)
  • 3.3.6. Характеристики для законов сохранения. Пересекающиеся характеристики (19мин.)
• 3.4. Уравнение Гамильтона - Якоби и его классическое решение (232мин.)
• • 3.4.1. Нестационарное уравнение Гамильтона - Якоби (39мин.)
  • 3.4.2. Стационарное уравнение Гамильтона - Якоби (39мин.)
  • 3.4.3. Вариационное исчисление. Связь с ОДУ Гамильтона (58мин.)
  • 3.4.4. Преобразование Лежандра. Выпуклая двойственность гамильтониана и лагранжиана (19мин.)
  • 3.4.5. Геометрическая интерпретация уравнения Гамильтона - Якоби. Интегральный инвариант Пуанкаре - Картана (58мин.)
  • 3.4.6. Геометрическая оптика (19мин.)
• 3.5. Коротковолновые асимптотики для УрЧП (232мин.)
• • 3.5.1. Постановка задачи и общая идея метода (19мин.)
  • 3.5.2. Коротковолновая асимптотика для уравнения Шредингера (19мин.)
  • 3.5.3. Коротковолновая асимптотика для волнового уравнения (194мин.)
• Тест:  УрЧП первого порядка и их классические решения (30мин.)

4. Обобщенные решения

• 4.1. Обобщенные решения задачи Коши для закона сохранения (213мин.)
• • 4.1.1. Интегральное решение. Условие Рэнкина - Гюгонио (77мин.)
  • 4.1.2. Пример неединственности интегрального решения (19мин.)
  • 4.1.3. Энергетические оценки (39мин.)
  • 4.1.4. Допустимые разрывы и условие энтропии (19мин.)
  • 4.1.5. Обобщенное решение по Кружкову (58мин.)
• 4.2. Введение в теорию обобщенных функций (349мин.)
• • 4.2.1. Пробные функции и их свойства (97мин.)
  • 4.2.2. Определение и основные свойства обобщенных функций (58мин.)
  • 4.2.3. Дифференцирование распределений и умножение на гладкую функцию. Свертка с гладкой функцией (39мин.)
  • 4.2.4. Преобразование Фурье обобщенных функций (97мин.)
  • 4.2.5. Пространства Соболева (58мин.)
• 4.3. Неравенство Фридрихса (39мин.)
• 4.4. Теорема Рисса для гильбертовых пространств (58мин.)
• 4.5. Обобщенная задача Дирихле для уравнения Пуассона (19мин.)
• 4.6. Коротковолновые асимптотики и функция Грина (291мин.)
• • 4.6.1. Напоминание: общая структура метода коротковолновых асимптотик для одномерного уравнения Шредингера (19мин.)
  • 4.6.2. Модельный пример: уравнение Шредингера для гармонического осциллятора (19мин.)
  • 4.6.3. Функция Грина задачи Коши для уравнения Шредингера с гармоническим осциллятором (58мин.)
  • 4.6.4. Вычисление интегралов I и явный вид функции Грина (39мин.)
  • 4.6.5. Фокальные точки и переход через них с помощью преобразования Фурье (39мин.)
  • 4.6.6. Регуляризация функции Грина (39мин.)
  • 4.6.7. Поведение лагранжева многообразия At и его связь с индексом (19мин.)
  • 4.6.8. Канонический оператор Маслова в одномерном случае (39мин.)
• Тест:  Обобщенные решения (30мин.)

5. Курсовые работы первого семестра (список задач по построению коротковолновых асимптотик)

6. Качественные свойства решений уравнений математической физики

• 6.1. Волновое уравнение (310мин.)
• • 6.1.1. Модельная задача, приводящая к волновому уравнению (n = 1) (39мин.)
  • 6.1.2. Представление решения в виде суммы двух волн (n = 1) (39мин.)
  • 6.1.3. Смешанная задача для n = 1. Методы четного и нечетного продолжения (58мин.)
  • 6.1.4. Сферические средние. Уравнение Эйлера - Пуассона - Дарбу (39мин.)
  • 6.1.5. Случай n = 3. Формула Кирхгофа. Волновые фронты (39мин.)
  • 6.1.6. n = 2. Метод спуска. Формула Пуассона (39мин.)
  • 6.1.7. Неоднородная задача. Принцип Дюамеля (19мин.)
  • 6.1.8. Конус зависимости. Единственность (19мин.)
• 6.2. Уравнение Лапласа (291мин.)
• • 6.2.1. Основные определения, фундаментальное решение уравнения Лапласа в R2 и R3 (77мин.)
  • 6.2.2. Теоремы о среднем (19мин.)
  • 6.2.3. Свойства гармонических функций (39мин.)
  • 6.2.4. Вариационное исчисление (19мин.)
  • 6.2.5. Случай n = 3. Электростатическая интерпретация (39мин.)
  • 6.2.6. Случай n = 3. Функция Грина. Метод отраженных зарядов (19мин.)
  • 6.2.7. Случай n = 2. Применение конформных отображений (19мин.)
  • 6.2.8. Представление функции в виде суммы трех потенциалов. Задача Неймана для уравнения Лапласа (58мин.)
• 6.3. Уравнение теплопроводности (368мин.)
• • 6.3.1. Основные определения. Фундаментальное решение (58мин.)
  • 6.3.2. Неоднородная задача (58мин.)
  • 6.3.3. Теоремы о стабилизации (116мин.)
  • 6.3.4. Сильный принцип максимума в ограниченной области (58мин.)
  • 6.3.5. Принцип максимума в полосе (39мин.)
  • 6.3.6. Гладкость решений (39мин.)
• Тест:  Качественные свойства решений уравнений математической физики (26мин.)

7. Система уравнений Максвелла

• 7.1. Постановка задачи. Законы сохранения для системы уравнений Максвелла (58мин.)
• 7.2. Потенциалы. Калибровка Лоренца (39мин.)
• 7.3. Фундаментальное решение волнового ypaвнения. Запаздывающий потенциал (58мин.)
• Тест:  Система уравнений Максвелла (10мин.)

8. Введение в теорию полугрупп

• 8.1. Полугруппа и ее инфинитезимальный оператор (77мин.)
• 8.2. Резольвенты (39мин.)
• 8.3. Теорема Хилле - Иосиды (39мин.)
• 8.4. Приложение теории полугрупп к параболическим уравнениям (39мин.)
• Тест:  Введение в теорию полугрупп (10мин.)

9. Курсовые работы второго семестра (калибровка Лоренца)

10. Дополнительные главы

• 10.1. Дифференцируемость решения ОДУ по параметру и ее применение (97мин.)
• • 10.1.1. Непрерывность решения ОДУ по параметру (39мин.)
  • 10.1.2. Дифференцируемость решения по параметру (39мин.)
  • 10.1.3. Примеры и упражнения (19мин.)
• 10.2. Метод стационарной фазы (252мин.)
• • 10.2.1. Геометрическая оптика (19мин.)
  • 10.2.2. Стационарная фаза (116мин.)
  • 10.2.3. Метод стационарной фазы (58мин.)
  • 10.2.4. Оптика и стационарная фаза (39мин.)

Литература

Новые издания по дисциплине "Методы математической физики" и смежным дисциплинам

Завершение курса

• Тест:  Итоговое тестирование (0мин.)